Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Parametrisierung, Sphäre, Volumen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Parametrisierung, Sphäre, Volumen
Majazakava
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-24


Hi,

ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Ich habe die Parametrisierung \[P:]0,2\pi[ \times ]0,\pi[ \to \IR^3 \quad(\varphi,\theta) \mapsto  (cos(\varphi)sin(\theta),sin(\varphi)sin(\theta),cos(\theta))\] einer offenen dichten Teilmenge der Einheitssphäre \(\mathbb{S^2} \subset \IR^3\). \(A\) sei für \(0\le \varphi_1 < \varphi_2 < 2\pi\) und \(0\le \theta_1 < \theta_2 < \pi\) die durch \(\varphi_1\le\varphi\le\varphi_2\) und  \(\theta_1\le\theta\le\theta_2\) beschriebene Teilmenge von \(\mathbb{S^2}\).

Ich soll \(vol_2(A)\) berechnen.

Leider weiß ich nicht, wie ich das machen soll.

Ich habe das Volumen von P ausgerechnet, was kein Problem war, aber weiß auch nicht, ob ich damit arbeiten kann. Mein Problem ist, dass ich noch nicht mal weiß, was mir die Ungleichungen sagen sollen.

Ich bedanke mich im Voraus für die Hilfe.
LG Majazakava



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 386
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24


Hallo Majazakava,

2021-01-24 13:49 - Majazakava im Themenstart schreibt:
Ich habe das Volumen von P ausgerechnet, was kein Problem war,

Was ist denn das Volumen einer Parametrisierung?^^


2021-01-24 13:49 - Majazakava im Themenstart schreibt:
Mein Problem ist, dass ich noch nicht mal weiß, was mir die Ungleichungen sagen sollen.

Du sollst die Menge \[A=\{(\cos(\varphi)\sin(\theta),\sin(\varphi)\sin(\theta),\cos(\theta))\,|\,\varphi_1\leq\varphi\leq\varphi_2,\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\}\] betrachten. Du musst per Definition \[\operatorname{vol}_2(A)=\int_A1\,dS=\int_{[\varphi_1,\varphi_2]\times[\theta_1,\theta_2]}\sqrt{\det(J_P^TJ_P)}\,d\mathcal{L}^2\] berechnen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Majazakava
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Hallo sonnenschein96,

danke für Deine Hilfe.

Hab's jetzt ausrechnen können.

LG
Majazakava



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 386
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-25


Das ist schön, zur Kontrolle nochmal mein Ergebnis: \(\operatorname{vol}_2(A)=(\varphi_2-\varphi_1)(\cos(\theta_1)-\cos(\theta_2))\). Für \(\varphi_1=0,\varphi_2=2\pi,\theta_1=0,\theta_2=\pi\) ergibt sich dann auch die bekannte Formel \(\operatorname{vol}_2(S^2)=(2\pi-0)(\cos(0)-\cos(\pi))=4\pi\).



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Majazakava hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Majazakava hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]