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Zahlentheorie » Teilbarkeit » n²-n ist nicht durch 5 teilbar
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Universität/Hochschule J n²-n ist nicht durch 5 teilbar
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Die Behauptung $\forall n \in \N: n^2-n \equiv 0$ (mod 5), ist nicht wahr. Die Berechnung der ersten acht Zahlen zeigt dies sofort:
$0^2 - 0 = 0$ ist durch 5 teilbar, denn $0 = 5 \cdot 0$.
$1^2 - 1 = 0$ ist durch 5 teilbar, denn $0 = 5 \cdot 0$.
$2^2 - 2 = 2$ ist nicht durch 5 teilbar, denn $2 = 5 \cdot 0 + 2$.
$3^2 - 3 = 6$ ist nicht durch 5 teilbar, denn $6 = 5 \cdot 1 + 1$.
$4^2 - 4 = 12$ ist nicht durch 5 teilbar, denn $12 = 5 \cdot 2 + 2$.
$5^2 - 5 = 20$ ist durch 5 teilbar, denn $20 = 5 \cdot 4$.
$6^2 - 6 = 30$ ist durch 5 teilbar, denn $30 = 5 \cdot 6$.
$7^2 - 7 = 42$ ist nicht durch 5 teilbar, denn $42 = 5 \cdot 8 + 2$.

Wagt man sich an einen auf vollständiger Induktion basierten Beweisversuch, so erhält man Folgendes:
Sei $n \in \N$ so, dass $n^2-n = 5k$ für ein $k \in \N$ (dieses existiert, z.B. $n=6$). Dann gilt:
\[
\begin{align*}
(n + 1)^2 - (n + 1)
&= (n + 1)^2 - n - 1 \\
&= (n^2 + 2n + 1) - n - 1 \\
&= n^2 + 2n + 1 - n - 1 \\
&= n^2 - n + 2n + 1 - 1 \\
&= (n^2 - n) + 2n + (1 - 1) \\
&= 5k + 2n + 0 \\
&= 5k + 2n \\
&\equiv 2n \text{ (mod 5)}\\
\end{align*}
\]
Allgemein ist dies jedoch nicht $\equiv 0$ (mod 5). Nun frage ich mich, wie man die Behauptung anpassen könnte, um einen induktionsfähigen Beweis zu einer ähnlichen Behauptung zu erreichen. Irgendwelche Ideen?🤔
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25


Du möchtest anscheinend

$\neg \forall n \in \IN (5 \mid n^2 - n)$
 
zeigen. Das ist äquivalent zu

$\exists n \in \IN (\neg (5 \mid n^2 -n))$
 
was also bereits durch die Angabe eines einzigen Beispiels erledigt ist.

Die Induktion willst du aber anscheinend mit der völlig anderen (!) Aussage

$\forall n \in \IN (\neg (5 \mid n^2 - n))$

machen. Diese Aussage ist aber sicherlich falsch.

Kurzum: Was möchtest du eigentlich zeigen?

Nachtrag: Ist dir gar nicht bekannt, wie man die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl anhand der letzten Dezimalstelle erkennen kann? Sie muss $0$ oder $5$ sein.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-25


Übrigens:

Da 5 nur aus einem einzigen Primfaktor besteht gilt: $n^2-n=n(n-1)$ ist genau dann durch 5 teilbar, wenn $n$ oder $n-1$ durch 5 teilbar ist.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-25


Suchst du vielleicht etwas der Form $ax^5+bx$ mit $a+b\equiv0\mod5$?

Das wäre dann durch 5 teilbar.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Eine "ähnliche" Aussage, die sich beweisen lässt, ist $$\forall n \in \IN: \exists m\in\{0,1,2\}:  n^2-n \equiv m \pmod 5$$
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
2021-01-25 00:03 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:

Kurzum: Was möchtest du eigentlich zeigen?

Nachtrag: Ist dir gar nicht bekannt, wie man die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl anhand der letzten Dezimalstelle erkennen kann? Sie muss $0$ oder $5$ sein.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)

Mir ist die dürftige Qualität meiner Fragestellung bewusst (ich wusste selbst nicht, wie ich das am gescheitesten hätte formulieren können). Und natürlich weiss ich von der Teilerregel der Zahl Fünf im Dezimalsystem.😄

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)2021-01-25 13:14 - tactac in Beitrag No. 4 schreibt:
Eine "ähnliche" Aussage, die sich beweisen lässt, ist $$\forall n \in \IN: \exists m\in\{0,1,2\}:  n^2-n \equiv m \pmod 5$$
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)

Danke tactac, genau so etwas habe ich gesucht.
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-26


Man könnte evtl. auch n²-n+1 betrachten, was nicht durch 5 teilbar ist.
Einen Beweis kann man sich dafür schnell raussuchen.

Mich hätte hier mehr interessiert:
Kann man den Term in der Form n²-n+1 = 5·(...)+1 darstellen?
Ich vermute, das darin dann irgendwelche Binomialkoeffizienten vorkommen.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
2021-01-26 13:15 - Wario in Beitrag No. 6 schreibt:
Mich hätte hier mehr interessiert:
Kann man den Term in der Form n²-n+1 = 5·(...)+1 darstellen?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)

Naja, du solltest spezifizieren, was du mit "darstellen" meinst, offenbar ist $n^2 - n + 1 = 5 \frac{n^2-n}{5} + 1$...

@Phonesie Anstatt induktiv heranzugehen, würde ich empfehlen hier lieber mit Modulo-Rechnungen anzugehen. Siehe auch diesen Artikel zur Induktion.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-26


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)2021-01-26 13:25 - Kezer in Beitrag No. 7 schreibt:
2021-01-26 13:15 - Wario in Beitrag No. 6 schreibt:
Mich hätte hier mehr interessiert:
Kann man den Term in der Form n²-n+1 = 5·(...)+1 darstellen?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)

Naja, du solltest spezifizieren, was du mit "darstellen" meinst, offenbar ist $n^2 - n + 1 = 5 \frac{n^2-n}{5} + 1$...
\(\endgroup\)

Naja, so versimpelt natürlich nicht. Ich ging, davon aus, dass es klar ist, dass mit "(...)" ein grundsätzlich ganzzahliger Ausdruck gemeint ist. Der Einwand mag formal berechtigt sein, aber ich wollte jetzt eigentlich weniger irgendwelche Haarspaltereien diskutieren.  



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
@Wario Es ist in #0 schon festgestellt worden, dass $n^2-n$ nicht immer durch 5 teilbar ist.
\(\endgroup\)


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-26


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)2021-01-26 13:47 - tactac in Beitrag No. 9 schreibt:
@Wario Es ist in #0 schon festgestellt worden, dass $n^2-n$ nicht immer durch 5 teilbar ist.
\(\endgroup\)

Das ist mir alles klar. Ich frage mich, rein interessehalber, ob sich
n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1,
mit einem ganzzahligen Ausdruck  X(n), darstellen lässt.

Anders gesagt: es geht mir nicht um "Hauptsache irgendwie bewiesen", es geht mir um die genannte spezielle Aufgabenstellung.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-26


  n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1
ist äquivalent zu
   n² - n = 5 · X(n).
Und das bedeutet: n² - n ist durch 5 teilbar.



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-01-26


2021-01-26 14:20 - tactac in Beitrag No. 11 schreibt:
   n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1
ist äquivalent zu
   n² - n = 5 · X(n).
Und das bedeutet: n² - n ist durch 5 teilbar.

Gut, vergessen wir's. Vielleicht kommt es mir irgendwann zugeflogen, dann schreibe ich es auf. Es gibt interessantere Themen, als Endlosdebatten über Formalien.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-26


2021-01-26 15:21 - Wario in Beitrag No. 12 schreibt:
2021-01-26 14:20 - tactac in Beitrag No. 11 schreibt:
   n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1
ist äquivalent zu
   n² - n = 5 · X(n).
Und das bedeutet: n² - n ist durch 5 teilbar.

Gut, vergessen wir's. Vielleicht kommt es mir irgendwann zugeflogen, dann schreibe ich es auf. Es gibt interessantere Themen, als Endlosdebatten über Formalien.

Tactac hat dir die Lösung hingeschrieben...
Das hat nichts mit Formalien zu tun.



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-01-26


Freunde, ich frage -rein interessehalber- nach der Aufgabenstellung mit einem ganzzahligen Term X(n), der n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1 genügt. Aber mehrere Leute wollen mit mir -auf verschiedene Weisen- diskutieren, dass es nicht notwendig ist, nach einen solchen Term zu suchen, da man die Ausgangsaufgabe auch Hauptsache irgendwie beweisen konnte. Also ich hätte schon Besseres zu tun, als so eine überflüssige Debatte.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-01-26


Das ist keine "überflüssige Debatte", es wurde dir wiederholt erklärt, wieso ein solcher Term nicht existieren kann.

Es ist nicht "nicht notwendig", sondern es ist schlicht unmöglich. Lese Beitrag No. 11 bitte genauer.


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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2021-01-26


2021-01-26 17:08 - Kezer in Beitrag No. 15 schreibt:
Es ist nicht "nicht notwendig", sondern es ist schlicht unmöglich. Lese Beitrag No. 11 bitte genauer.

Stimmt, das war dann mein Fehler. Es müsste n² - n + 1 = 5 · X(n) + y, mit 1<y<5 sein. Hast Du so einen Term? Schreib ihn hin oder eben nicht. Bist Du der Meinung, dass ist eh alles unnütz? Dann lass mich bitte in Ruhe.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-01-26


Dann lassen wir dich in Ruhe.



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2021-01-26


2021-01-26 17:27 - Red_ in Beitrag No. 17 schreibt:
Dann lassen wir dich in Ruhe.

Danke.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2021-01-26


$n^2-n$ ist modulo 5 nicht konstant.

$5X(n)+y$ hingegen ist für konstantes $y$ und ganzzahlige $X(n)$ modulo 5 konstant.

Die Terme können also (unabhängig von der Wahl von $y$ und $X(n)$) nicht gleich sein.


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