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 Zerfällungskörper über F_3 |
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Entenliebhaber221
Junior 
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 5
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Liebe Matheplanetbewohner,
ich sitze mal wieder an einer Algebra-Aufgabe und habe Schwierigkeiten beim Lösen.
Ich habe das Polynom f(X)= X^4+2x^2+2 in F3(X).
Dieses Polynom ist irreduzibel in F3, da es keine Nullstellen hat und nicht zerlegbar ist.
Der nächste Teil der Aufgabe ist einen Zerfällungskörper zu bestimmen.
Dabei habe ich Probleme, da man die eigentlichen Nullstellen nicht nutzen kann, da die Wurzel in F3 nicht definiert ist, außerdem habe ich keine weiteren Nullstellen gefunden.
Vielen Dank, MfG Entenliebhaber221
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2587
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25
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Hallo,
eine ähnliche Frage gab es vor ein paar Tagen erst: hier. Kommst du damit weiter?
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Entenliebhaber221
Junior
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25
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Lieber Nuramon,
ich verstehe die Faktorisierung über Q, jedoch ist mir nicht ganz klar, wie man über F_3 faktorisieren kann, da die Wurzelfunktion und somit auch die eigentlichen Nullstellen nicht in F_3 definiert sind.
In diesem Beispiel würde es ja keinen Sinn machen F_3(Sqrt(-1-i), Sqrt(-1+i)) als Zerfällungskörper zu bestimmen, oder?
LG Entenliebhaber221
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
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 |  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-25
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Bitte schau dir diesen Artikel an:
 Algebra über endlichen Körpern
Wurzelausdrücke machen selbstverständlich auch in endlichen Körpern Sinn, weil sie für beliebige Körper definiert sind.
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Entenliebhaber221
Junior
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25
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Lieber Triceratops,
vielen Dank für den Artikel, dieser hat mir sehr weitergeholfen.
Insofern war meine erste Annahme, dass der Zerfällungskörper F_3 (Sqrt(-1-i),sqrt(-1+i)) doch richtig, oder?
LG Entenliebhaber221
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-25
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Du kannst das aber noch weiter vereinfachen, etwa ein primitives Element angeben.
Außerdem ist ja bei endlichen Körpern $K$ und irreduziblen Polynomen $f \in K[X]$ immer bereits $K[X]/\langle f \rangle$ ein Zerfällungskörper. Und wenn $K \cong \IF_q$, $\deg(f)=n$, ist dieser Körper $\IF_{q^n}$. Hier bekommt man also $\IF_{3^4}$.
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juergenX
Aktiv 
Dabei seit: 08.07.2019
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-25
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2021-01-25 17:23 - Entenliebhaber221 in Beitrag No. 4 schreibt:
Lieber Triceratops,
vielen Dank für den Artikel, dieser hat mir sehr weitergeholfen.
Insofern war meine erste Annahme, dass der Zerfällungskörper F_3 (Sqrt(-1-i),sqrt(-1+i)) doch richtig, oder?
LG Entenliebhaber221
Ich meine nicht, da $\sqrt{-1-i},\sqrt{-1+i}$ die kenntnis von i, also komplexe Zahlen $\in \mathbb C$ vorraussetzen.
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-25
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@juergenX: Nein.
@Entenliebhaber221: Falls du juergenX (früher unter anderen Accounts unterwegs) noch nicht kennst: Er versucht seit 10 Jahren die Grundlagen der Algebra zu lernen (ohne Erfolg) und postet parallel dazu auch noch "Hilfestellungen" zur Algebra hier im Forum (meistens falsch, und immer uneinsichtig). Mein Tipp wäre daher, ihn zu ignorieren.
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juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-25
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Dann fehlt die def von i in einem Koerper der char 3.
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Triceratops
Aktiv
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-25
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Die Definition fehlt nicht, sondern du hast sie dir einfach nicht angesehen. Siehe Beitrag 3. Hier noch einmal der Link: Algebra über endlichen Körpern
Und wieso sollte sich bei der allgemeinen Definition einer Wurzel in einem Körper irgendetwas ändern, wenn zufälligerweise die Charakteristik $3$ ist?
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juergenX
Aktiv
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-25
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Danke wieder was gelernst, ich hasse dich nicht😎
Was ist aber
$\sqrt{2}$ und $\sqrt{3}$ in F_5 ?
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Triceratops
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-25
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In $\IF_5$ ist die Wurzel $\sqrt{2}$ nicht enthalten, aber in $\IF_{5^2}=\IF_5(\sqrt{2})$ ist sie enthalten. Das Beispiel wird auch in dem Artikel explizit erwähnt. Bevor du weitere Fragen stellst, schau dir bitte den verlinkten Artikel an. Bei $\IQ$ sind ja auch nur manche Wurzeln enthalten und man muss sie adjungieren, das ist hier nicht anders. Aber grundsätzlich: Wieso öffnest du nicht einen eigenen Thread für deine Fragen? Das hier ist der Thread von Entenliebhaber221, da geht es um seine/ihre Fragen.
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Entenliebhaber221
Junior
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27
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Lieber Triceratops,
erstmal vielen Dank für die Antwort, diese hat mir sehr geholfen bei dem Verständnis der Zerfällungskörper bei endlichen Körper.
Demzufolge war obige Zerfällungskörper richtig.
Meiner Annahme nach ist das primitive Element sqrt(-1-i)+sqrt(-1+i). Ist das richtig so? und wie kann ich mit Hilfe diesem die Galoisgruppe bestimmen, da ich nicht richtig verstehe, wie die Nullstellen permutieren.
Die offensichtlichen Automorphismen (x->x und x->-x) sind mir klar, aber die weiteren?
Außerdem wie würde sich dies mit den Zwischenkörpern verhalten?
LG Entenliebhaber221
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Triceratops
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-27
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Hast du auch einen Beweis, dass das ein primitives Element ist, oder ist es nur eine Annahme?
Ich gebe dir mal als Tipp, einfach mal die beiden Erzeuger miteinander zu multiplizieren. Danach geht es schon weiter.
Zur Galoisgruppe: Die Galoisgruppe von $\IF_{q^n}/\IF_q$ ist immer $C_n$, die zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Sie wird erzeugt vom Frobenius.
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Themenstart: 2021-01-25