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Integration » Integration im IR^n » Lebesguemaß der d-dimensionalen Kugel mit Divergenzsatz
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Universität/Hochschule J Lebesguemaß der d-dimensionalen Kugel mit Divergenzsatz
MightyNate
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-25


Hallo,

ich soll als Übungsaufgabe zeigen dass die (d-1)-dimensionale Fläche der Sphäre \( \partial B_r(0,\mathbb{R}^d) \) gleich d mal dem Lebesguemaß der d-dimensionalen Einheitskugel mal r^{d-1} ist. Also

\(\int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} 1 \, dA = d \cdot \lambda(B_1(0,\mathbb{R}^d))r^{d-1} \)

Dafür soll der Divergenzsatz verwendet werden:
\( \int \limits_{ \{ \varphi < 0 \} } div F(x) = \int \limits_{ M= \{ \varphi=0\} } \langle F(x), \nu (x) \rangle \) dA

Hierbei ist $ \nu (x) $ der normierte Normalenvektor von x also
$ \nu (x) = \frac{\nabla \varphi (x)}{\| \nabla \varphi (x) \|} $


Ich habe bisher:
$ \varphi $ definiert als $ \varphi_r (x) = (x_1)^2 + (x_2)^2 + ... + (x_d)^2 - r^2 $
Somit ist \( M = \partial B_r(0, \mathbb{R}^d) = \{ \varphi_r (x) = 0 \} \) und \( \varphi_r : \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} \) und \( \varphi_r \in C^1 \) und des weiteren
\( \nu(x) = \frac{x}{r} \, \, \forall x \in M \)
Außerdem habe ich \( F(x) \) definiert als \( F(x) = \frac{r}{dx} \), damit \( \langle F(x), \nu (x) \rangle = 1 \, \, \forall x \in M \) ist.

Damit ist \( \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} 1 \, dA = \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} \langle F(x), \nu (x) \rangle \, dA
 = \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(x) \, d \lambda_d (x) \)
( \( div F(x) = spur D F(x) = \sum \limits_{i=1}^d \frac{\partial F_i}{\partial x_i} (x) \) )

Und nun weiter mit der Transformationsformel
Ich habe \( \psi_r \) definiert als \( \psi_r  (x) = r \cdot x \) (sollte ein \( C^1 \)-Diffeomorphismus sein)
Also ist \( \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(x) \, d \lambda_d (x) = \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(\psi_r(x)) |det D\psi_r(x)| \, d \lambda_d (x) \\= r^d \cdot \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(\psi_r(x)) \, d \lambda_d (x) \)
Als Lebesguemaß der d-dimensionalen Einheitskugel habe ich \( \int \limits_{B_1(0, \mathbb{R}^d)} 1 \, d \lambda_d (x) \)

Wie zeige ich nun \( r^d \cdot \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(\psi_r(x)) \, d \lambda_d (x) = d \cdot \int \limits_{B_1(0, \mathbb{R}^d)} 1 \, d \lambda_d (x) \cdot r^{d-1} \) ist?

Schonmal danke für eure Ratschläge



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25


Hallo MightyNate,

2021-01-25 20:19 - MightyNate im Themenstart schreibt:
Außerdem habe ich \( F(x) \) definiert als \( F(x) = \frac{r}{dx} \), damit \( \langle F(x), \nu (x) \rangle = 1 \, \, \forall x \in M \) ist.

Das ergibt leider keinen Sinn, \(x\) ist ein Vektor. Meinst Du vielleicht eher \(F(x)=\frac{x}{r}\)?


2021-01-25 20:19 - MightyNate im Themenstart schreibt:
Damit ist \( \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} 1 \, dA = \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} \langle F(x), \nu (x) \rangle \, dA
 = \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(x) \, d \lambda_d (x) \)

Rechts müsste über \(B_r(0)\) integriert werden und nicht über den Rand.


2021-01-25 20:19 - MightyNate im Themenstart schreibt:
Also ist \( \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(x) \, d \lambda_d (x) = \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(\psi_r(x)) |det D\psi_r(x)| \, d \lambda_d (x) \\= r^d \cdot \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(\psi_r(x)) \, d \lambda_d (x) \)

Im ersten Integral muss wieder über \(B_r(0)\) integriert werden. Bei den anderen beiden Integralen muss über \(\psi_r^{-1}(B_r(0))=B_1(0)\) integriert werden.


2021-01-25 20:19 - MightyNate im Themenstart schreibt:
Wie zeige ich nun \( r^d \cdot \int \limits_{\partial B_r(0,\mathbb{R}^d)} div F(\psi_r(x)) \, d \lambda_d (x) = d \cdot \int \limits_{B_1(0, \mathbb{R}^d)} 1 \, d \lambda_d (x) \cdot r^{d-1} \) ist?

Links muss über \(B_1(0)\) integriert werden. Wenn Du \(\operatorname{div}F\) ausrechnest und dort einsetzt, folgt die Gleichung sofort.



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MightyNate
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25


Ja ich habe mich bei den Integrationsgebieten ein paar mal vertippt.

\( F (x) = \frac{x}{r} \) liefert (logischerweise) auf jeden Fall das gewünschte Skalarprodukt, danke für den Tipp.
Dann ist auch klar warum mit meinem falschen $F$ nichts sinnvolles herauskommt.



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MightyNate
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25


Okay ich erhalte:

\( r^d \cdot \int \limits_{B_1(0)} div F (\psi_r(x)) d \lambda_d(x) = r^d \cdot \int \limits_{B_1(0)} div F (r \cdot x) d \lambda_d(x) = r^d \cdot \int \limits_{B_1(0)} div (\frac{rx}{r}) d \lambda_d(x) \\
= r^d \cdot \int \limits_{B_1(0)} ( \sum \limits_{i=1}^d 1) d \lambda_d(x) = r^d \cdot d \cdot \int \limits_{B_1(0)} 1 d \lambda_d(x) = d \cdot \lambda(B_1(0, \mathbb{R}^d)) \cdot r^d \)

Sieht gut aus aber ich habe einen Faktor $r$ zu viel



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-25


Dein Fehler ist, dass Du \(\operatorname{div}(F\circ\psi_r)\) berechnet hast, es müsste aber \(\operatorname{div}(F)\circ\psi_r\) sein. Es gilt \(\operatorname{div}(F\circ\psi_r)(x)=d\) aber \(\operatorname{div}(F)(\psi_r(x))=\frac{d}{r}\).



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MightyNate
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Ah also liegt mein Fehler in der Anwendung der Tranformationsformel

Ich erhalte (nachdem ich die Determinante aus dem Integral gezogen habe) als Integranden nicht \( div ( F ( \psi_r (x))) \) sondern \( ((div F) \circ \psi_r) (x) = (div F)( \psi_r (x)) \) und da \( div F = \frac{d}{r} \) also eine konstante Funktion ist, ist mein Integrand \( = \frac{d}{r} \) wie gewünscht und alles funktioniert.

Vielen Dank für die schnellen Antworten, ich hätte sicherlich Stunden gebraucht um die Fehler zu finden.
Hatte schon mit d-dimensionalen Polrkoordinaten herumexperimentiert.



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