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Analysis » Folgen und Reihen » Zahlenfolgen
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Universität/Hochschule J Zahlenfolgen
Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-26


Hallo,

ich habe ein Problem, das mich den ganzen Abend schon beschäftigt.

Seien \((a_n )_n\) und \((b_n )_n\) Zahlenfolgen mit

1. \(\lim_{n \to \infty}\)\((a_n-b_n)\) \(=\) \(0\).

2. \(\lim_{n \to \infty}\)\(a_n \cdot b_n\) \(=\) \(1\).


Wie kann man zeigen, dass \(\lim_{n \to \infty}\) \(a_n\) \(=\) \(1\) und \(\lim_{n \to \infty}\) \(b_n\) \(=\) \(1\)?

Oder ist es trivial und ich sehe es nur nicht?




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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26


Hallo Gengar,

ich denke, die Aussage ist falsch, wenn Du mit "Zahlenfolgen" Folgen reeller Zahlen meinst. Betrachte z.B. konstante Folgen mit \(a_n=b_n=-1\) für alle \(n\in\mathbb{N}\). Dann sind 1. und 2. erfüllt, aber \(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=-1\).



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-26


Was Du wohl aber zeigen kannst ist, dass wenn \(\lim_{n\to\infty}a_n\) oder \(\lim_{n\to\infty}b_n\) existiert, dann existiert auch der jeweils andere Grenzwert und es muss dann \(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=1\) oder \(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=-1\) gelten.

Es kann aber auch sein, dass \(\lim_{n\to\infty}a_n\) und \(\lim_{n\to\infty}b_n\) beide nicht existieren, z.B. für \(a_n=b_n=(-1)^n\).



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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Stimmt. Es geht eigentlich um Folgendes:

Es seien \(A^{(j)}\) \(\in\) \(\mathbb{R}^{n \times n}\), \(j\) \(        \in\) \(\mathbb{N}\), reguläre Matrizen mit \(\lim_{j \to \infty}\) \(A^{(j)}\) \(=\) \(I\) und \(A^{(j)}\) \(=\) \(Q^{(j)}R^{(j)}\) die zugehörigen \(QR\)- Zerlegungen. Zudem hat \(R^{(j)}\) positive Diagonalelemente. Zu zeigen ist

\(\lim_{j \to \infty}\) \(Q^{(j)}\) \(=\) \(I\) \(=\) \(\lim_{j \to \infty}\) \(R^{(j)}\)


Bisher habe ich gezeigt, dass

\(\Vert A^{(j)} - I \|_{2,2}\) \(=\) \(\Vert R^{(j)} - (Q^{(j)})^T \|_{2,2}\)

in der Hoffnung, ich könnte das Problem irgendwie auf ein einfacheres Problem zurückführen. Hast Du einen Tipp, wie man fortfahren könnte?



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-26


2021-01-26 03:08 - Gengar in Beitrag No. 3 schreibt:
Es geht eigentlich um Folgendes:

Meistens ist es wohl besser, gleich nach dem zu fragen, was man eigentlich wissen will^^


2021-01-26 03:08 - Gengar in Beitrag No. 3 schreibt:
in der Hoffnung, ich könnte das Problem irgendwie auf eine Zahlenfolge zurückführen.

Wenn Du eine \(QR\)-Zerlegung einer reellen Zahl \(a_j\neq0\) in obiger Form durchführst, ist \(q_j=\operatorname{sign}(a_j)\) und \(r_j=|a_j|\). Aus \(a_j\to1\) folgt in diesem Fall trivialerweise \(q_j\to1\) und \(r_j\to1\). Ich denke aber, dass Dir das nicht direkt weiterhilft.


Mir fällt leider spontan nur folgendes ein (das geht aber bestimmt auch anders): Wegen \(\|Q^{(j)}\|_{2,2}=1\) für alle \(j\in\mathbb{N}\) gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß zu jeder Teilfolge \((Q^{(j_k)})\) eine Teilteilfolge \((Q^{(j_{k_l})})\) mit \(Q^{(j_{k_l})}\to Q\) für ein gewisses \(Q\in\mathbb{R}^{n\times n}\), das von der Teilteilfolge abhängt.

Es gilt \(R^{(j_{k_l})}=(Q^{(j_{k_l})})^TA^{(j_{k_l})}\to Q^TI=Q^T\). Du kannst Dir leicht überlegen, dass \(Q\) eine orthogonale untere Dreiecksmatrix mit nichtnegativen Diagonalelementen ist. Daraus kannst Du schließen, dass \(Q=I\) sein muss, also \(Q^{(j_{k_l})}\to I\) und \(R^{(j_{k_l})}\to I^T=I\). Da der Grenzwert nun stets der gleiche ist, folgt sogar schon \(Q^{(j)}\to I\) und \(R^{(j)}\to I\), siehe
de.wikipedia.org/wiki/Teilfolge#Konvergenz



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