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  Nullstellen in F_3 finden |
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Timethie
Junior 
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 8
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Hallöle, ich sitze hier momentan an einer Aufgabe aus der Algebra I. Ich soll zu dem Polynom $f = X^4+2X^2+2 \in \mathbb{F}_3[X]$ einen Zerfällungskörper $L$ von $f$ über $\mathbb{F}_3$, sowie die zugehörige Galoisgruppe und alle Zwischenkörper von $L/\mathbb{F}_3$ bestimmen. Mich interessiert an dieser Aufgabe erst einmal nur, wie ich die Nullstelle und den zugehörigen Zerfällungskörper bestimme, den Rest danach würde ich gerne noch alleine probieren.
Ich hatte mehrere Ideen, leider ging von denen bisher keine auf und einfaches ausprobieren (durch z.B. den Computer) halte ich nicht für angebracht.
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand von Ihnen helfen könnte.
Grüße Tim
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wladimir_1989
Senior 
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1392
Herkunft: Freiburg
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26
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Hallo Timethie und willkommen auf dem Matheplaneten,
der \(\mathbb{F}_3\) besteht aus drei Elementen. Daher sollte das Ausprobieren nicht so schwer sein, auch ohne Computer.
lg Wladimir
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Timethie
Junior
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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Hallo wladimir_1989, danke für die Antwort, aber leider hilft sie mir nicht ganz weiter. Ich soll nämlich den Zerfällungskörper des Polynoms angeben, soll also einen Erweiterungskörper $L$ von $\mathbb{F}_3$ finden, sodass $f$ Nullstellen in $L/\mathbb{F}_3$ hat (weil es zumindest in $\mathbb{F}_3$ keine gibt).
Ich weiß nur leider nicht wie ich das angehe. Unser Tutor hatte uns schon den Tipp gegeben die Körper $\mathbb{F}_9$ und $\mathbb{F}_{81}$ zu betrachten. In $\mathbb{F}_9$ scheint es auch keine Nullstellen zu geben und in $\mathbb{F}_{81}$ möchte ich es nicht ausprobieren.
Meiner Ansicht nach dürfte es allerdings auch keine Nullstellen in allen Körpern $\mathbb{F}_q$ mit $q \geq 5$, $q$ prim geben, da nach Eisenstein mit $p=2$ das Polynom irreduzibel wäre (oder ist das Kriterium hier nicht anwendbar?). Und das finde ich dann auch nochmal verwirrend.
Ich verstehe einfach nicht wie ich hier den Zerfällungskörper bestimmen soll.
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5476
Herkunft: Berlin
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-26
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