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 Funktion und zweite Ableitung beschränkt, beweisen dass erste Ableitung auch beschränkt ist |
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heinrichjuergen
Neu 
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2021-01-26
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Es sei f: \IR -> \IR zweimal differenzierbar und f und f'' seien beschränkt. Beweisen Sie, dass dann auch f' beschränkt ist.
Mein Ansatz war, dass ich die Funktion mit Hilfe des Satz von Taylor abschätze. Das heißt, ich habe folgende Gleichung:
f(x) = f(x_0) + (f'(x_0))/1! * (x - x_0) + (f''(\xi))/2! * (x - x_0)^2
umgeformt zu
f'(x_0) <= abs(1/(x-x_0))*(a + a + c * abs((x-x_0)^2/2))
wenn abs(f(x)) < a und abs(f''(x)) < c gilt.
Die Idee war, dass ich so zeigen kann, dass f(x_0) kleiner ist als eine bestimmte Konstante. Nun scheitere ich aber daran, x-x_0 korrekt abzuschätzen. Ist das überhaupt der richtige Ansatz?
Ich freue mich über Tipps.
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shipwater
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Dabei seit: 27.03.2010
Mitteilungen: 496
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26
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Hi,
spricht etwas dagegen einfach $x=x_0+1$ zu setzen?
Gruß Shipwater
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heinrichjuergen
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Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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Hey,
das hab ich mir auch schon überlegt. Würde das jetzt auch so als Lösung nehmen, war mir aber nicht ganz sicher.
Ich wüsste aber auch nicht, was dagegen sprechen sollte, von dem her.
Danke!
Grüße
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shipwater
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-26
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Sollte passen. Bei der Verwendung des Satzes von Taylor musst du aber möglicherweise etwas aufpassen. Eventuell brauchst du \(f \in C^2(\mathbb{R})\) um die Version aus eurer Vorlesung anwenden zu können. In der Aufgabe ist die Stetigkeit von \(f''\) aber nicht vorausgesetzt. Der Satz von Taylor gilt zwar auch ohne Stetigkeit der letzten Ableitung, das wird aber oft nicht bewiesen in den Vorlesungen. Siehe z.B. hier für die stärkere Variante.
Gruß Shipwater
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heinrichjuergen
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Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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Folgt die Stetigkeit der Funktion nicht daraus, dass ich sie zweimal differenzieren kann?
Jede differenzierbare Funktion ist ja auch stetig, und damit insbesondere auch f'(x), oder habe ich einen Denkfehler?
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shipwater
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-26
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Es geht um die Stetigkeit von $f''$ nicht um die Stetigkeit von $f$.
Gruß Shipwater
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heinrichjuergen
Neu
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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Hab eben nachgeguckt, bei uns ist es ohne die Voraussetzung der Stetigkeit definiert :)
Dann passt ja alles!
Danke für deine Hilfe :)
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