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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Kern einer Körpererweiterung
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Universität/Hochschule J Kern einer Körpererweiterung
juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-26


Sei $K= Q(\alpha)\supset Q$ eine quadratische Körpererweiterung mit $\alpha=\sqrt{\beta}$ mit $\beta$ quadratfrei.
Sei $r,s \in Q,\tau: x \in K = r+s\alpha \mapsto y\in K = r-s\alpha$ die komplexe Konjugation.
Der $ker(\tau)$ ist Q. Und $\tau$ ein Q-Automorphismus.

was ist aber $K/ker(\tau) = K/Q$?
Anm.:
Ich wollte auf den Homomorphiesatz hinaus das beispiel ist nicht so gut gewaehlt weil tau sowieso ein Isomorphismus ist..



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26


Du meinst nicht den Kern (der Kern eines injektiven Homomorphismus ist immer 0), sondern vermutlich den Fixkörper (was übrigens der Differenzkern der Abbildung mit der Identität ist). Du willst nun aber aus einem Körper einen Zwischenkörper herausteilen. Das ergibt keinen Sinn. Falls du lediglich die additiven Gruppen meinst, ist das reine lineare Algebra; es gilt ja $K \cong \IQ  \cdot 1 \oplus \IQ \cdot \alpha$ als Vektorräume und daher $K/\IQ \cong \IQ \cdot \alpha $ als Vektorräume.



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-26


Hallo Jürgen,

hierbei handelt es sich nicht notwendigerweise um die komplexe Konjugation (stell dir bspweise vor beta wäre 3, dann findet das alles hier in $\mathbb{R}$ statt und erstmal nicht mit der komplexen Konjugation zu tun).

Außerdem hast du den Kern nicht korrekt berechnet. Die Zahl 1 z.B. wird ja auf 1 abgebildet, ist aber in Q und damit angeblich im kern von $\tau$. Generell hat ein Körperhomormophismus nur 2 mögliche Kerne: {0} oder den gesamten Körper, von dem aus abgebildet wird (-> Nullabbildung).

Insofern ist K/ker(\tau) = K.

Viele Grüße
Creasy

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Smile (:



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-26


@Creasy: Der Kern $K$ kommt nicht vor; die Nullabbildung ist kein Ringhomomorphismus (außer in den trivialen Ring, der aber kein Körper ist). Körperhomomorphismen sind immer injektiv.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Ich wollte auf ein Beispiel fuer den Homomorphiesatz hinaus und suchte ein Beispiel, den an einer Anwendung zu verstehen.
Das Beispiel tau ist nicht so gut gewaehlt weil tau sowieso ein Gruppen, Ring und vektorraum Isomorphismus ist..

Man nehme stattdessen $\sigma$ :
$\sigma \vec(a,b) \mapsto \vec(a,0)$ hat den Kern $\vec(0,b)$, oder?
Sry ich komm mit den Pfeilen ueber a,b in latex nicht zurecht...
$\sigma$ ist nicht injektiv also ist der $ker(\sigma)$ nicht trivial.
Was ist hier $K/ker(\sigma)$?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-26


Der Kern kann kein Element sein. Du meinst etwas anderes.

Du hast doch selbst das Wort "Homomorphiesatz" gebracht. Damit kannst du dir deine Frage beantworten.

Ist dir klar, dass $\sigma$ kein Ringhomomorphismus ist und deine Frage nichts mit Ringen oder Körpern zu tun hat? Das ist reine lineare Algebra 1 mit der linearen Abbildung $\sigma : \IQ \times \IQ \to \IQ \times \IQ$, $\sigma(a,b) := (a,0)$.

Niemand braucht Pfeile bei Variablen.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


2021-01-26 22:55 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Der Kern kann kein Element sein. Du meinst etwas anderes.

Du hast doch selbst das Wort "Homomorphiesatz" gebracht. Damit kannst du dir deine Frage beantworten.

Ist dir klar, dass $\sigma$ kein Ringhomomorphismus ist und deine Frage nichts mit Ringen oder Körpern zu tun hat? Das ist reine lineare Algebra 1 mit der linearen Abbildung $\sigma : \IQ \times \IQ \to \IQ \times \IQ$, $\sigma(a,b) := (a,0)$.

Niemand braucht Pfeile bei Variablen.

Wir sagen statt $\displaystyle \IQ \times \IQ = {\IQ}^{2}=S$. Ist das legitim?

Wir betrachten die lineare Abbildung $\displaystyle f\colon \mathbb {Q}^{2}\to \mathbb {Q}^{2}$, die durch
$\displaystyle f(x)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ 0\end{pmatrix}$ definiert ist.
Die Abbildung f bildet genau die Vektoren der Form
$\displaystyle x=\begin{pmatrix}0\\\lambda \end{pmatrix},\lambda \in \mathbb {Q}$ auf den Nullvektor ab und andere nicht.
Der Kern von f ist also die Menge $\operatorname{Kern}f=\begin{pmatrix}0\\\lambda \end{pmatrix}, \lambda\in \mathbb{Q}$.

Nach dem Homomorphiesatz ist
$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ / $\begin{pmatrix}0\\\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x_{1}\\ 0\end{pmatrix} =image(f)$.

Ich habe ein Problem mit dem "/" oder "über" oder "nach".





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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28 23:03


Ich habe eben ein Problem mit dem Konzept von "/" oder "über" oder "nach".

Offenbar ist $Z/7Z \cong Z_7$.
Man "dividiert" wohl aus ganz Z alle durch 7 teilbaren Zahlen raus, und es verbleibt der endliche Körper $Z_7=\{0,1,2,3,4,5,6\}$.
wenn n nicht prim ist, gilt auch $Z/nZ \cong Z_n$, wobei aber $Z_n$ ein Ring ist aber viel mehr nicht.
$Z_n$ ist dann nicht unbedingt nullteilerfrei jedenfalls kein Integritätsbereich oder Körper.

Auch weiß ich dass in einer anderen Kategorie $S_3/A_3 \cong C_2$ ist. Es hat also was von Division?!

Auch besteht der Kern von Polynomringen wie $Q[X]$ aus bez. des Einsetzungshomomorphismus $E(x_i): Q[X]\mapsto\IQ$ $\sigma$-invarianten Polynomen aus $g(x)\in Q[X]$, die auf $0\in\IQ$ abgebildet werden.
Das ist aus einem älteren Post von oder mit mir oder einigen anderen, ich  finde ihn grad nicht, da der von einem der vielen "Ehemaligen_Mitglied"ern war ;)

Alle $\sigma$ formen die Galoisgruppe dieser gewissen Polynome $g(x)$.
Weiß jemand noch wie der Thread hieß?

Aber mir ging es hier erstmal nur um mein Verständnis dieser "Division":
Welche "Division" $\IQ/Ker(f)$ macht aus einem Ringhomomorphismus $f$ einen  Ringisomorphismus von einer Struktur in eine andere?
An eine einfachen Beispiel?





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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-31 15:36


2021-01-26 19:36 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
...
ist das reine lineare Algebra; es gilt ja $K \cong \IQ  \cdot 1 \oplus \IQ \cdot \alpha$ als Vektorräume und daher $K/\IQ \cong \IQ \cdot \alpha $ als Vektorräume.
OK das leuchtet ein

Nicht klar ist


Der Kern kann kein Element sein.
Gilt das generell? f ist ein Gruppen aber kein Ringhomomorpismus, da f(a*b) nicht immer f(a)*f(b) ist.
$Z\mapsto Z: \forall r \in Z: f(r) =-r$ bildet nur  ein Element auf 0 ab nämlich 0.
PS Irrtum: f ist ja aich kein Gruppenhomomorpismus, f(a+b) nicht immer f(a)+f(b).
ich suchte bloß ein einfaches Beuspiel zum Homomorpiesatz für Ringe..



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