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Analysis » Funktionalanalysis » Norm auf Abb(IR, IR)		Druckversion
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Universität/Hochschule J Norm auf Abb(IR, IR)
jlw
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-26


Hallo,

uns ist folgende Frage in den Sinn gekommen: Gibt es eine Norm auf dem Raum aller Abbildungen von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\)? Falls ja, wie sieht ein Beispiel aus? Falls nein, wieso?
Für gewisse Unterräume, wie den Raum aller beschränkten Funktionen von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\) gibt es sowas natürlich, wir suchen aber nach einer Norm ohne jegliche Einschränkung des Grundraums.

Grüße

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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26


Hallo jlw,

Du kannst auf jedem reellen/komplexen Vektorraum eine Norm definieren, siehe z.B.
math.stackexchange.com/questions/62778/does-every-mathbbr-mathbbc-vector-space-have-a-norm
Allerdings machst Du im Beweis davon Gebrauch, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt, wofür Du das Lemma von Zorn (äquivalent zum Auswahlaxiom) benötigst. Daher ist der Beweis nicht konstruktiv.

Mir ist auch nicht bekannt, dass Du auf dem Vektorraum aller Abbildungen von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\) eine "konkrete" Norm angeben kannst, aber da lasse ich mich gern belehren.

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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-26


sonnenschein96 hat recht, man kann keine Norm hinschreiben (mit der üblichen unpräzisen Bedeutung dieses Wortes "hinschreiben", und natürlich gibt es auch Fragmente von $ZF \wedge \neg AC$, wo es eine solche Norm gibt).

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jlw
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Okay, danke für die Antworten. Wir waren uns eben zunächst nicht sicher, ob es sowas gibt, gerade weil man sie nicht genau hinschreiben und insbesondere nicht von irgendeinem Element (außer der 0) die Norm angeben kann. Aber die Konstruktion ergibt natürlich Sinn.

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jlw hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
jlw hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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