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 Irreduzibilität folgender Polynome |
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Math_user
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Mitteilungen: 566
Herkunft: Deutschland
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Hallo zusammen
Ich beschäftige mich aktuell mit der Irreduzibilität und beschäftige mich konkret mit diesen 2 Aufgaben:
1) Ist dieses Polynom $x^2y − xy^2 − x + y$ irreduzibel über $\Bbb Q[x,y]$?
Nun weiss ich dass $\Bbb Q [x,y] \simeq \Bbb Q[x][y]$. Somit kann ich dies als Polynom nur in Koeffizienten von $y$ auffassen oder? (Nur zum sicher gehen, umgekehrt wäre es falsch oder? Also $\Bbb Q [x,y] \simeq \Bbb Q[y][x]$?)
Schreibe ich es also etwas neu erhalte ich $f(y):=-xy^2+(x^2+1)y-x$. Nun ist der $f$ ein primitives Polynom und eigentlich würde sich hier das Eisensteinkriterium gut anwenden lassen. Aber ich finde kein geeignetes Primelement.
2) Ist $x^2 − y^2 + z^{2018} \in \Bbb Q(x, y)[z]$ irreduzibel? Hier habe ich leider keinen Ansatz...
Vielen Dank für eure Hilfe und einen guten Start in den Abend
Math_user
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
dein Polynom ist für \( y=x\) Null. Hilft dir das?
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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Kezer
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
2021-01-27 17:33 - Math_user im Themenstart schreibt:
(Nur zum sicher gehen, umgekehrt wäre es falsch oder? Also $\Bbb Q [x,y] \simeq \Bbb Q[y][x]$?)
Doch, es gilt schon auch $\Q[x,y] \cong \Q[y][x]$, schließlich sind $x$ und $y$ hier völlig symmetrisch zueinander.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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Math_user
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
2021-01-27 18:56 - Kezer in Beitrag No. 2 schreibt:
2021-01-27 17:33 - Math_user im Themenstart schreibt:
(Nur zum sicher gehen, umgekehrt wäre es falsch oder? Also $\Bbb Q [x,y] \simeq \Bbb Q[y][x]$?)
Doch, es gilt schon auch $\Q[x,y] \cong \Q[y][x]$, schließlich sind $x$ und $y$ hier völlig symmetrisch zueinander.
Wie meinst du symmetrisch? Wir müssen doch auf die Vorzeichen achten..\(\endgroup\)
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1185
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Ich meine $\Q[x,y] = \Q[y,x]$.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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Triceratops
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 |  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-27
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Bei 1) hat Wally schon geantwortet.
Bei 2) kannst du das Eisenstein-Kriterium anwenden. Du kennst sicherlich eine Faktorisierung von $x^2-y^2$.
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Math_user
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28
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Guten Morgen zusammen
1) Vielen Dank Wally für deinen Input. Weil $y=x$ Null ergibt, folgt das mein Polynom eine Nullstelle hat und somit ist es reduzibel. Abe reicht dies als Erklärung?
2) Ich kann sicher $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ aufschreiben... Nun folgt, dass $(x-y)(x+y)+z^{2018}$. Nun stört mich aber dieses $z$.
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Triceratops
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-28
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1) Das reicht nicht. Versuche, das Polynom zu faktorisieren.
2) Lemma: Sei $R$ ein faktorieller Ring, $u \in R$ quadratfrei, $u \neq 0$, und $n \in \IN^+$. Dann ist $z^n - u \in R[z]$ irreduzibel. Beweis: Folgt sofort aus Eisenstein. Wende das hier an.
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