Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Matrixnorm
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Matrixnorm
Numerik2020
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.12.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-27


Beweisen Sie: Durch $$||A_1||=max_{j=1,...,n}\sum\limits_{i=1}^{m} |a_{ij}|, A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & _{mn} \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{mxn} $$ ist die der 1-Norm  $$||x||_1 = \sum\limits_{k=1}^{n} |x_k|, x =[x_1,x_2,...,x_n]^T\in \mathbb R^n$$ zugeordneten Matrixnorm gegeben.
$$||A_1||=max_{||x||_1=1} ||Ax||_1 = max\frac{||Ax||_1}{||x||_1}$$
Ich verstehe die Aufgabe nicht so richtig. Was muss ich denn zeigen? Kann mir diesbezüglich jemand einen Hinweis geben?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
thepower180
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 14.12.2019
Mitteilungen: 56
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-28


Lieber Numerik 2020,

wir haben in unserer Numerik I Vorlesung den folgenden Beweis für die Zeilensummennorm geführt. Diese Zeilensummennorm ist bekanntlich die natürliche Matrixnorm zur Chebychevnorm. Vielleicht kannst du nun analog schließen.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 419
Herkunft: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Lieber Numerik2020

Definition (Einsnorm).
Die Einsnorm für Vektoren $x \in \R^n$ mit Komponentenschreibweise $x=(x_1,\ldots,x_n)^T$ ist definiert als die Abbildung $\|\cdot\|_1 : \R^n \to \R_+$, gegeben durch die Abbildungsvorschrift
\[
\|x\|_1 := \sum_{k=1}^n |x_k|.
\]
Kommentar zur Einsnorm.
Für diese Vektornorm bildet man also die Summe der Beträge des Vektors, den man betrachtet.

Definition (Spaltensummennorm).
Die Spaltensummennorm einer $m \times n$-Matrix $A \in \R^{m \times n}$ mit Komponenten $a_{ij}$ sei definiert als die Abbildung $\|\cdot\|_1 : \R^{m \times n} \to \R_+$, gegeben durch die Abbildungsvorschrift
\[
\|A\|_1 := \max\left\{ \sum_{i=1}^m |a_{ij}| : 1 \leq j \leq n \right\}
\]
Kommentar zur Spaltensummennorm.
Für diese Matrixnorm bildet man also spaltenweise die Summen aller Beträge und wählt dann die grösste so erhaltene Zahl als das Resultat der Abbildung.

Randnotiz.
Es ist eine gute Übung zu zeigen, dass beide gerade definierten Abbildungen die Vektornorm- bzw. Matrixnorm-Axiome erfüllen. (Zur Erinnerung: Für Matrixnormen wird axiomatisch oftmals die Submultiplikativität vorausgesetzt, also dass für Matrizen $A$ und $B$ die Ungleichung $\|AB\|_1 \leq \|A\|_1 \|B\|_1$ gilt.)

Worum geht es in der Aufgabe also?
Bei dieser Aufgabe sollst du zwei Dinge zeigen.
Erstens:
\[
\|A\|_1 = \max_{\substack{x \in \R^n \\ \|x\|_1 = 1}} \|Ax\|_1
\] Zweitens:
\[
\max_{\substack{x \in \R^n \\ \|x\|_1 = 1}} \|Ax\|_1
=
\max_{x \in \R^n} \frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_1}
\]
Tipp
Zeige zuerst die zweite Gleichheit auf direktem Weg mit Hilfe der Normaxiome. Die erste Gleichheit kannst du mittels beidseitiger Ungleichheit wie thepower180 gezeigt hat beweisen.

LG Phoensie😉
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 419
Herkunft: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Um die Spaltensummennorm explizit einmal vorzurechnen, betrachte die $3 \times 4$-Matrix $M$ mit Einträgen $m_{ij}$, bestimmt durch
\[
M :=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 5 & 9 & -14 \\
-3 & -2 & 2 & 0
\end{pmatrix}.
\] Die Spaltensummennorm von $M$ ist dann
\[
\begin{align*}
\|M\|_1
&= \max\left\{ \sum_{i=1}^3 |m_{ij}| : 1 \leq j \leq 4 \right\} \\
&= \max\left\{ \sum_{i=1}^3 |m_{i1}| \;,\; \sum_{i=1}^3 |m_{i2}| \;,\; \sum_{i=1}^3 |m_{i3}| \;,\; \sum_{i=1}^3 |m_{i4}| \right\} \\
&= \max\left\{ |1|+|0|+|-3| \;,\; |2|+|5|+|-2| \;,\; |3|+|9|+|2| \;,\; |4|+|-14|+|0| \right\} \\
&= \max\left\{ 1+0+3 \;,\; 2+5+2 \;,\; 3+9+2 \;,\; 4+14+0 \right\} \\
&= \max\left\{ 4 \;,\; 9 \;,\; 14 \;,\; 18 \right\} \\
&= 18.
\end{align*}
\]
Übrigens:
- Die Spaltensummennorm kann (wie auch die Zeilensummennorm) sogar auf den Raum der komplexen $m \times n$-Matrizen fortgesetzt werden, da der Betrag einer komplexen Zahl (also der Einträgen komplexer Matrizen) wohldefiniert ist.
- Als kleinen Satz könnte man folgende Beobachtung beweisen: Sei $\mathbb{K} \in \{\N,\Z,\Q,\R,\C\}$. Für alle $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ gilt $\|A\|_1 \in \mathbb{K}$.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]