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Mathematik » Stochastik und Statistik » Definition einer Generatormatrix
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Beruf J Definition einer Generatormatrix
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-27


Hallo Zusammen,

Sei $P$ eine stochastische  $n\times n$ Matrix.
Ein ungelöstes Problem ist es eine  $n\times n$ generator Matrix $Q$ zu finden, sodass $P=e^Q$.

Nun habe ich bei Wikipedia nachgelesen was eine generator Matrix ist.
Dort steht dass in der Kodierungstheorie ist eine generatormatrix in derr Form: $[I_k|P]$.

in anderen Worten, die generator Matrix kann gar nicht quadratisch sein.
 
Gesucht ist also eine andere Definition.

Was ist eine generatormatrix?

wer weiss das?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-27


Kodierungstheorie ist hier nicht das passende Gebiet. 😉

Ich habe "stochastic matrix" "generator matrix" in Google eingegeben und in einer pdf im 3. Suchergebnis eine Antwort auf deine Frage gefunden. Schaffst du das auch? :)



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Hallo Triceratops,
Vielen Dank für die schnelle Antwort.¨

Ist denn eine "Transition Rate Matrix" dasselbe wie eine Generatormatrix?



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-28


Huhu sulky,

die Generatormatrix $Q$ ist der "Logarithmus" der Übergangsmatrix $P$ einer Markovkette, d.h. es gilt $P=e^Q$.

lg, AK



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28


Hallo Annakath,

Ach so ist das.

Vielen Dank



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-28


Huhu sulky,

vielleicht hilft eine Bemerkung als Nachtrag, um den Begriff des Erzeugers einzuordnen.

Er stammt aus der Funktionalanalysis und der Theorie von (stark-stetigen) Operatorhalbgruppen, siehe z.B. hier. Er wird dort etwa zur Untersuchung von Anfangswertproblemen für lineare Operatorgleichungen eingesetzt. Ist beispielsweise $A$ der Erzeuger einer stark-stetigen Halbgruppe $(T_t)_{t\geq 0}$, so ist $u_t = T_t f$ die Lösung des Anfangswertproblems $u_t^\prime= Au_t$ mit $u_0 =f$.

Im Falle von endlich-dimensionalen Räumen kann man die Operatoren der Halbgruppe und die (infinitesimalen) Erzeuger eben als Matrizen darstellen.

Das hat zunächst einmal also nichts mit Stochastik oder Markov-Prozessen zu tun. Natürlich ist es aber so, dass die Übergangskerne eines (homogenen) Markov-Prozesses gerade eine Halbgruppe bilden, insbesondere gilt $P_sP_t = P_{s+t}$ aufgrund der Chapman-Kolmogorov-Gleichung. Die zusätzliche topologische Forderung ist im Allgemeinen nicht erfüllt, jedoch für weite Klassen von Prozessen.

Während dies für zeitdiskrete Prozesse (und endliche Zustandsräume) ein wenig nach Verallgemeinerung um ihrer selbst Willen aussieht, ist es für allgemeinere Setting sehr hilfreich, beispielsweise um die Theorie auf zeitstetige Markovprozesse anzuwenden, z.B. durch den Satz von Hille/Yosida.

Wenn es Dir Spass macht, kannst Du ja einmal versuchen, den Begriff des Erzeugers auf eine Markov-Kette anzuwenden und herauszufinden, warum diese Operatoren dann gerade durch Matrizen dargestellt werden, deren Diagonalelemente nichtpositiv sind und deren Zeilensumme jeweils $0$ ist.

lg, AK



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-29


Vielen Dank für die Ausführungen AnnaKath,

Ja, der professor hat mir nun ein Skript gegeben, ich muss mich jetzt da einfach mal einlesen. Das Skript umfasst mehr als 200 Seiten.

2021-01-28 18:47 - AnnaKath in Beitrag No. 5 schreibt:

Wenn es Dir Spass macht, kannst Du ja einmal versuchen, den Begriff des Erzeugers auf eine Markov-Kette anzuwenden und herauszufinden, warum diese Operatoren dann gerade durch Matrizen dargestellt werden, deren Diagonalelemente nichtpositiv sind und deren Zeilensumme jeweils $0$ ist.



Ja, genau darum geht es.
Soeben habe ich den Kurs über Wahrscheinlichkeit und Modellierung beendet. Dabei hatten wir eine "Corona Sonderprüfung" wo ich möglicherweise wegen einem Formfehler disqualifiziert werde...vielleicht ist man wegen Corona auch überraus gnädig...mal abwarten...

Jedenfalls hatten wir im Kurs nur Markovketten auf diskreten Zustandsräumen angeschaut. Dies gilt jetzt bei dieser Arbeit nicht mehr.

Ich muss mich jetzt da einfach mal hineinlesen und werde bestimmt noch ganz viele Fragen haben.

Schlussendlich soll es aber am Einbettungen gehen...ich sehe noch immer nicht ganz was Markovketten mit Einbettungen zu tun haben...




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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-03 23:00


Hallo zusammen,

Ich habe nochmals eine Frage zur Generatormatrix:

Es gilt: $Q=\frac{d}{dh}P(0)$

Das verstehe ich jetzt aber überhaupt nicht. Ist beispielsweise die
Markovkette homogen, dann ist ja $P(h)$ eine Konstante und folglich $Q=0$

Somit: $P=e^{0}=I$.

Wo mache ich hier einen Knopf?



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-02-03 23:27


Huhu sulky,

für zeitdiskrete Prozesse ist die Theorie der Halbgruppen nicht sonderlich hilfreich. Und auch formal ergibt der Ausdruck $\frac{d}{dt}P_t|_{t=0}$ hier keinen Sinn.
Versuch es doch mal mit einer Analogie zur reellen Analysis: Eine Funktion $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ mag differenzierbar sein (oder nicht), eine relle Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist es sicher nicht!

Du benötigst schon zeitstetige Markov-Prozesse, um die Theorie (brauchbar) einsetzen zu können.
Wenn Du aber unbedingt zeitdiskrete Markovprozesse (mit endlichem Zustandsraum) betrachten möchtest, dann kannst Du dies formal zwar tun, allerdings müsstest Du dann als Analogon eine Matrix $Q$ finden, so dass $\alpha P^n = \alpha e^Q$ für eine gegebene Startverteilung $\alpha$ gilt.

lg, AK.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-04 00:11


Hallo Annakath,

Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Habe ich jetzt ein noch grösseres Durcheinander als ich meinte?

Bisher dachte ich, dass eine Übergangsmatrix $P$ sowohl für Zeitstetige, als auch für diskrete Markovketten existiert.

Weiter kann $P$ stationär sein oder auch nicht. Im stationären Fall
spricht man von homogener Markovkette.

Verwechsle ich da etwas?

Weil es geht tatsächlich im Zeitstetige Markovketten.
Wieso meinst du dass ich von Diskreten MK ausgehe?



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AnnaKath
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Huhu sulky,

zugegeben, persönlich finde ich es ein wenig künstlich, eine spezielle Terminologie (Übergangsmatrizen und Erzeuger) für zeitstetige Markovprozesse mit diskretem Zustandsraum zu verwenden (statt gleich das allgemeinere Setting der Markovkerne zu verwenden). Vielleicht war ich deshalb ein wenig zu harsch... Verzeih. Ich versuche also mal die Konstellation so zu beschreiben. Wenn Du danach spezielle Fragen hast, bitte ich Dich, diese auch in diesem formulierten Kontext zu stellen.

OK, wir betrachten also einen Markovprozess $X : \Omega \times J \rightarrow S$, wobei $J=[0,T]$ oder $J=\mathbb{R}_0^+$, $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ einen Wahrscheinlichkeitsraum darstellt sowie $S = \{ s_1, s_2, \ldots \}$ diskret ist und durch $\mathcal{S} \subset 2^S$ zu einem messbaren Raum gemacht.

Man kann dann die Matrizen $P_{t_0, t_1} = \left ( \mathbb{P}(X_{t_1} = i | X_{t_0} = j) \right )_{(i,j)\in S^2}$ betrachten und nennt diese Übergangsmatrizen. Der Prozess heisst (zeitlich) homogen, falls $P_{t_0, t_1} = P_{0, t_1-t_0}$ gilt, man schreibt dann auch einfach $P_t$ für die Übergangsmatrizen.

Gilt $\lim_{t\downarrow 0} P_t = I$, haben wir (wegen der CK-Gleichung) eine Halbgruppe vorliegen. In diesem Falle  kann man die Intensitätsmatrix $Q=\lim_{t\downarrow 0} \frac{P_t-I}{t}$ betrachten. Für deren Diagonalelemente gilt dann $q_{ii}\leq 0$. Ist für ein spezielles $i_0$ das Element $q_{i_0 i_0}=0$, so ist der Zustand absorbierend, gilt $q_{i_0 i_0}=-\infty$ so heisst der Zustand augenblicklich (oder "flüchtig"). Besitzt die Intensitätsmatrix keine augenblicklichen oder absorbierenden* Zustände, so nennen wir den Prozess regulär*, falls jede Zeilensumme der Matrix gerade $0$ ist.

In diesem Falle ist** $Q$ der infinitesimale Erzeuger der (dann stark stetigen) Halbgruppe $(P_t)_{t\in J}$ und es gilt $P_t = \mathrm{e}^{tQ}$.

Um zum Abschluss konkret auf Deine Frage aus #7 einzugehen: Offensichtlich ist $P_t$ auch für einen homogenen Prozess nicht konstant!

lg, AK

*) bezüglich der absorbierenden Zustände kann man diese Vorraussetzungen etwas abschwächen
**) $P_t$ rechtsseitig differenzierbar in $0$ und



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Hallo Annakath,

Vielen Dank für deine Antwort.

Deine Ausführungen sind sehr interessant und gehen viel weiter als meine Frage. Ich habe noch nicht alles im Detail verstanden und werde mir in den nächsten Tagen einen ruhigen Moment suchen.

Vor allem bin ich interessiert daran spezifische Zusatzinformationen in die Arbeit zu nehmen mit der Quellenangabe:
"Austausch auf deutschsprachigem Mathematikforum mit anonymer Stochastikexpertin"  


Ich habe tatsächlich bereits weitere Fragen zu den Generatormatrizen, aber nun lese ich erst mal weiter, bevor ich gleich frage.

Aber vielen Dank schon einmal für all deine Hilfe



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