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  Wie bestimmt man eine Tangente von einer impliziten Gleichung? |
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arhzz
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 |  Themenstart: 2021-02-01
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Bestimmen Sie die Tangente an die Funktion f im Punkt (2,f(2)) wobei f(2) = 0 und die funktion f:(1,unendlich) --> R durch die implizite Gleichung :
\(xe^{xf(x)} =(x-2)^3 + e^{f(x)} +1\)
Also was ich weiss ist das ich die tangente so bestimmen kann : y = f(x0) + f'(x0) *(x1-x0). Und bei impliziten gleichungen muss man ja ausnutzen das g(x) = h(x) <==> g'(x) = h'(x). Also ich habe mein g(x) und h(x) hier gefunden.
g(x) =\( xe^{xf(x)} \) und h(x) =\( (x-2)^3 + e^{f(x)} +1 \)
Und nun muss ich das jetzt ableiten. Also ich habe das rausbekommen(falls falsch bitte bescheid geben).
\( g'(x) = e^{xf(x)} + xe^{xf(x)'} * f(x)' \)
\( h'(x) =3(x-2)^2 + e^{f(x)'} \)
Und jetzt komme ich nicht weiter. Was ist mein nachster schritt?
Danke im Voraus!
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-01
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Hallo,
deine Ableitungen sind leider beide falsch. Da solltest du dir insbesondere noch einmal die Produkt- und die Kettenregel ansehen und einprägen.
Dein eigentliches Vorhaben erschließt sich mir noch nicht. Könntest du eventuell noch die komplette Aufgabenstellung posten, damit man weiß, um was es hier geht?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Funktionalanalysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]
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sarose
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-01
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Ich sehe hier keine impliziten Gleichungen, ich sehe hier eher verkettete Funktionen. Auch gilt ganz sicher nicht die Äquivalenz \(f(x)=g(x)\Leftrightarrow f'(x)=g'(x)\). Mit der Implikation \(f(x)=g(x)\Rightarrow f'(x)=g'(x)\) wäre ich eher einverstanden.
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arhzz
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01
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Ja ableiten mach ich nochmal,aber dass ich die aufgabenstellung vergessen hab ist ein Problem. Ich bearbeite mein Post ganz schnell
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sarose
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-01
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Jetzt bin ich mit der impliziten Gleichung einverstanden.
Aber die Ableitungen sind immer noch falsch. Tipp: Kettenregel
und wenn du die Ableitungen mit Hilfe des implizitem Differenzieren bestimmt hast, die Gleichung nach \(f'(x)\) auflösen.
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ok, jetzt steht die Aufgabe da. Leite nochmal alles richtig mit der Kettenregel ab.
Und dann geht es um folgendes: in die Gleichung \(g'(x)=h'(x)\) gehst du mit dem Punkt \((x,y)=(2,0)\) ein und versuchst, das verbliebene nach \(f'(x)\) aufzulösen. Diese Ableitung entsteht bei korrekter Anwendung der Kettenregel.
Das mit dem Auflösen sollte hier denkbar einfach gehen, sofern ich mich nicht verrechnet habe.
Beachte auch den Einwand aus Beitrag #2 (einfach, um den Sachverhalt richtig abzuspeichern...).
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)
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arhzz
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01
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Okay ich habe es nochmal abgeleitet.;
g'(x) = \(\frac{d}{dx}xe^{xf(x)}=e^{xf(x)}+ x\bigg(e^{xf(x)}\cdot \big(xf'(x)+f(x)\big)\bigg)=\)
h'(x) = \(\frac{d}{dx}\bigg((x-2)^3+e^{f(x)}+1\bigg)=3(x-2)^2+e^{f(x)}\cdot f'(x)\)
Und jetzt den tipp anwnden also nach f'(x) auflosen.
\(f'(x)=\frac{e^{xf(x)}\big(xf(x)+x+1\big)-3(x-2)^2}{(1-x^2)e^{f(x)}}\)
Und jetzt soll ich was machen? Ich bin ziemlich sicher 2 einsetzen und fur f(2) = 0 also wenn ich das mache bekomme ich -1
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
hab ich doch oben geschrieben:
- setze zunächst in die Gleichung \(g'(x)=h'(x)\) die Werte \(x=2\) und \(y=f(2)=0\) ein.
- Löse erst danach nach \(f'(2)\) auf.
Die eigentliche Tangentengleichung bekommst du dann ganz klassisch per Punkt-Steigungs-Form.
PS: die Ableitungen \(g'(x)\) und \(h'(x)\) oben sind richtig, nur im Fall der linken Seite \(g'(x)\) wegen der unnötigen Klammerung etwas zu kompliziert ausgefallen. Die nach \(f'(x)\) aufgelöste Gleichung ist jedoch nicht richtig (und an dieser Stelle auch nicht notwendig).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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arhzz
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01
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Uh hab das kommentar nicht gesehen, schuldigung. Also ich hab das jetzt fur die Tangente y = 2 - x
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-02-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
könntest du das einmal vorrechnen, nach meiner Rechnung ist es falsch.
Falls du die in Beitrag #6 nach \(f'(x)\) aufgelöste Gleichung verwendet hast, dann liegt der Fehler vermutlich in eben dieser Verwendung (denn da sind dir bereits beim Auflösen Fehler unterlaufen).
Falls du es nach meinem Hinweis gerechnet hast, müsste man die Rechnung einmal sehen.
Vermutlich besteht dein Fehler einzig und allein in einem Faktor, der bei dir an einer Stelle unter den Tisch gefallen ist...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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sarose
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-02-01
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Deine Ableitungen sind richtig, aber bei der Umformung hast du einen Fehler gemacht. Es müsste gelten:
\[f'(x)=\frac{3(x-2)^2-e^{xf(x)}-xe^{xf(x)}f(x)}{x^2e^{xf(x)}-e^{f(x)}}\]
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arhzz
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01
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Okay also liegt der fehler bei dem wie ich f'(x) aufgelöst hab. Ich mach es nochmal und mal sehen was passiert.
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Diophant
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-02-01
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Oder du setzt ersteinmal in die Gleichung aus Beitrag #10 von sarose ein: die stimmt nämlich. 🙂
Gruß, Diophant
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arhzz
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|  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01
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Ja das mache ich sicher,allerdings will ich das ich selbe darauf komme,bringt nicht viel wenn ich einfach abschreibe und es nicht selber kann.Allerdings ist es echt muhsam jetzt noch alles zu machen.
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arhzz
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01
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Okay also jetzt das ich weiss wie man f'(x) auflöst und wo mein fehler war jetzt kann ich einsetzen. Also für x = 2 und f(2) = 0.
\(f'(x)=\frac{3(x-2)^2-e^{xf(x)}-xe^{xf(x)}f(x)}{x^2e^{xf(x)}-e^{f(x)}}\)
\(f'(x)=\frac{3(2-2)^2-e^{2*0}-2e^{2*0}*0}{2^2e^{2*0}-e^{0}}\)
\(f'(x) =\frac{ 0 - 1 - 2 * 1 * 0}{4 * 1 - 1}\)
\(f'(x) = \frac{-1}{3}\)
Wie siehts jetzt aus?
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sarose
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-02-01
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arhzz
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01
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Hahahahah,also das war gut :D :D. Vielleicht sollte ich meine Frage sein Ist das richtig?
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sarose
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| Beitrag No.17, eingetragen 2021-02-01
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nee, das ist Mathematiker-Slang ;-) Aber ja, es ist richtig.
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Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
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Wohnort: Muri AG, Schweiz
 | Beitrag No.18, eingetragen 2021-02-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Jetzt hast du also $f'(2)=-\frac{1}{3}$ bestimmt. Ausgehend davon weisst du bestimmt, dass eine Tangente (die ich $t$ nenne) der Funktion $f:\R \to \R$ durch den Punkt $(x_0,f(x_0))$ allgemein gegeben ist durch
\[
t(x) = f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)
\]
Setze nun $x_0 \equiv 2$ ein und voilà!
(Alternativ kannst du natürlich auch von einer Geradengleichung $y=mx+b$ ausgehen mit Steigung $m \equiv f'(2)$ und dann $(x,y) = (2,0)$ einsetzen und nach $b$ auflösen ... ergibt dasselbe Schlussresultat bis auf Faktorisierung.)
LG Phoensie.😄\(\endgroup\)
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arhzz
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01
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Boah,ich dachte mir Mathematiker und Slang gehen nie zusammen. :D Also was soll ich als nachstes machen bei der Aufgabe?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
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Caban
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 | Beitrag No.20, eingetragen 2021-02-01
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Hallo
Am besten folgst du dem Vorschlag von Phoensie!
Gruß Caban
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arhzz
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02
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Ja mein Beitrag war vor den super hilfreichen betrag von Phonsie. Danke ich mach das jetzt und mal sehen was passiert
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arhzz
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02
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Also x0 = 2 eingesetzt;
t = \(\frac{-1}{3} * (x -(\frac{-1}{3}) + 0\)
t = \(\frac{-1}{3}x -\frac{1}{9}\)
Sieht es hubsch aus :D ?
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Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
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Wohnort: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.23, eingetragen 2021-02-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Fast. Du hast beim Einsetzen $x_0$ mit $f'(x_0)$ verwechselt. Die korrekte Lösung lautet:
\[
\begin{align*}
t(x)
&= f'(2) \cdot (x-2) + f(2) \\
&= - \frac{1}{3} \cdot (x-2) + 0 \\
&= - \frac{1}{3} \cdot (x-2) \\
&= - \frac{1}{3} \cdot x + \frac{1}{3} \cdot 2 \\
&= - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.
\end{align*}
\]
Begründungen:
1. Gleichheit: Definition der Tangente $t$.
2. Gleichheit: $f'(2)=-\frac{1}{3}$ und $f(2)=0$.
3. Gleichheit: Die Null ist neutrales Element der Addition reeller Zahlen.
4. Gleichheit: Distributivgesetz.
5. Gleichheit: Bruchrechenregeln.\(\endgroup\)
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arhzz
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02
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Ah ja...Das war f'(x0) und nicht x0. Okay danke dir und die andere fur die grosse hilfe!
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2023-05-30 16:46 U
2023-05-30 15:43 S <
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