| Autor |
  Ungleichung über Taylorformel beweisen |
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droide
Junior 
Dabei seit: 14.01.2021
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2021-02-04
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Hallo Zusammen,
ich bekomme folgende Aufgabe nicht hin und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Zeigen Sie mit Hilfe der Taylorformel, dass für x\el\ \IR mit x>=0 gilt:
abs(ln(1+x)-x) <=x^2 /2
Die Aufgabe wurde im Themenzusammenhang mit Unendlichen Reihen gestellt.
Über eine Antwort freue ich mich!
Mit freundlichen Grüßen
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-04
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Entwickle mal den \(ln(1+x)\) in eine Taylorreihe. Dann subtrahiere \(x\).
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Behauptung (Logarithmusreihe): $\displaystyle{\ln(x+1) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}}$.
1) Beweise diese Behauptung.
2) Die linke Seite kann man dann wie folgt umformen:
\[
|\ln(x+1)-x|
= \left| \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} - x \right|
= \left| \sum_{k=2}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} \right|
\leq \sum_{k=2}^{\infty} \left|(-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} \right|
= \ldots
\]\(\endgroup\)
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droide
Junior 
Dabei seit: 14.01.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-04
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Erstmal danke für die Antworten!
Wie soll ich das denn weiter umformen?
Ich stehe da irgendwie auf dem Schlauch....
MfG
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2949
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-04
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Hallo
Welcher Term bleibt denn übrig, wenn du x von der Reihe abziehst?
Gruß Caban
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droide
Junior
Dabei seit: 14.01.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-04
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Abend,
also x von der Reihe
sum(abs((-1)^(k+1)*x^k / k),k=2,\inf )
abziehen?
Also wie genau soll ich das denn machen?
Danke für die Unterstützung!
Gruß
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-02-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
nein, da sind jetzt einige Missverständnisse aufgekommen. Der Term
\[\left|\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}\right|\]
ist schon das, was nach der Subtraktion von \(x\) übrig bleibt. Du musst jetzt 'nur noch'
\[\left|\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}\right|\le\frac{x^2}{2}\]
begründen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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droide
Junior
Dabei seit: 14.01.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-04
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Hallo,
Achso ok. Den Schritt verstehe ich auch.
Aber wie schaffe ich die Reihe so umzuformen, dass ersichtlich wird, dass
abs(sum((-1)^(k+1) * x^k /k,k=2,\inf )) <=x^2 / 2
gilt.
Also ich würde jetzt wie Phoensie die Betragsstriche in die Summe Holen.
Aber weiter wüsste ich jetzt auch nicht.
MfG
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-02-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Vielleicht nicht die effizienteste, aber eine mögliche Methode wäre jetzt zu unterscheiden zwischen $x \in [0;1)$, $x=1$ und $x>1$.
Im ersten Fall ergibt sich die Behauptung aus meinem vorigen Post mittels Weglassen nichtquadratischer Terme der Summe VOR DEM Reinziehen der Betragsstriche in die Summe.
Im Fall $x=1$ ergibt sich ein Teilstück der alternierenden harmonischen Reihe:
\[
\left| \sum_{k=2}^{\infty} (-1)^{k+1}\frac{1^k}{k} \right|
= \left| - \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \right|
= \left| \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \right|
= \left| \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \pm \ldots \right| < \frac{1}{2} = \frac{1^2}{2} = \frac{x^2}{2}.
\]
Den Fall $x>1$ überlasse ich dir (beachte dass gilt: $\forall x > 1 \, \forall k \in \N^*: x^k>x^{k-1}$).😉\(\endgroup\)
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droide
Junior
Dabei seit: 14.01.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-04
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Also für x=1 kann ich den weg sehr gut nachvollziehen.
Ich komme nur nicht auf die anderen Fälle.
Also für
x\el\ [0; 1)
kann ich das nicht so nachvollziehen bzw. weiß nicht wie ich da zum Ziel komme.
Das gleiche gilt für x > 1.
Sobald ich das sehe frage ich mich wahrscheinlich warum ich nicht selber draufgekommen bin...
Wäre sehr nett wenn du die anderen 2 Fälle auch noch erläutern könntest.
Gruß
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-02-04
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Für \(x>1\) konvergiert diese Reihe doch nicht. Oder bin ich falsch? Da muss man doch erneut entwickeln.
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2023-05-30 16:46 U
2023-05-30 15:43 S <
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