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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Punktweise/gleichmässige Konvergenz von f_n(x)=n*log((1+nx)/(nx))
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Universität/Hochschule J Punktweise/gleichmässige Konvergenz von f_n(x)=n*log((1+nx)/(nx))
Jay16Kay
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-05


Hallo Zusammen,

Ich bin was die Konvergenz von Funktionenfolgen angeht noch sehr unerfahren und habe mich an obiger Funktionenfolge probiert, aber leider keine Lösung dazu. Könnten ihr euch das mal anschauen und allenfalls korrigieren (log=ln):

\[f_n(x)=n\cdot log\big[\frac{1+nx}{nx}\big], x\in (0,\infty)\]
1. Für Punktweise Konvergenz

Für x konstant gilt \(\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot log\big[\frac{1+nx}{nx}\big]=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{log\big[\frac{n}{n}\cdot\big(\frac{\frac{1}{n}+x}{x}\big)\big]}{\frac{1}{n}}\) und somit \("\frac{0}{0}"\) und damit gültig für L'hôpital:

\(g(x)=log\big[\frac{1+nx}{nx}\big]\Rightarrow g'(x)=\big(\frac{nx}{1+nx}\big)\cdot\big[\frac{d}{dn}\frac{1+nx}{nx}\big]=\big(\frac{nx}{1+nx}\big)\cdot\frac{\frac{d}{dn}[1+nx]\cdot nx-(1+nx)\frac{d}{dn}nx}{(nx)^2}=\frac{nx^2-(x+nx^2)}{(nx)^2}=\frac{x}{(nx)^2}\)

\(h(x)=\frac{1}{n}\Rightarrow h'(x)=-\frac{1}{n^2}\)

Daraus folgt \(\lim\limits_{n\to\infty}-\frac{x}{n^4x^2}=-\frac{1}{x}\) und somit \(f(x)=-\frac{1}{x}\) punktweise konvergent, weil \(\forall x\in(0,\infty)\) der Grenzwert exisitiert und kleiner als \(\infty\) ist.

2. Für gleichmässige Konvergenz

\(|f(x)-f_n(x)|=|-\frac{1}{x}-n\cdot log\big[\frac{1+nx}{nx}\big]|<\epsilon,\forall\epsilon>0\) Prüfen, ob das wahr ist:

\(=|\frac{-1-xn\cdot\big[\frac{1+nx}{nx}\big]}{x}|\) ich setze \(x=\frac{1}{n}\), dann gilt:

\(|\frac{-1-log\big[\frac{1+1}{1}\big]}{\frac{1}{n}}|=|\frac{-1-log(2)}{\frac{1}{n}}|\) mit \(n\to\infty\) ist das \(0\Rightarrow\nexists\epsilon<0\) also ist \(|f(x)-f_n(x)|<\epsilon\) wahr und damit die Funktionenfolge auch gleichmässig konvergent \(\forall x\in(0,\infty)\)

Ich weiss es ist etwas viel , und es ist etwa die 4. Aufgabe die ich so Löse daher kann es gut sein, dass alles falsch ist, dann wäre ich froh, wenn ihr die Punkte die ich anders angehen müsste heraus heben könntet.

Ich danke euch im Voraus für die Investierte Zeit!

Grüsse
Jay



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Lieber Jay16Kay

Ich betrachte zunächst den Fall der punktweisen Konvergenz. Hier hast du die richtige Lösungsidee verwendet, jedoch haben sich ein paar Rechenfehler eingeschlichen. Ich gebe dir deshalb hier eine Schritt-für-Schritt-Lösung an:

Behauptung.
Die Funktionenfolge $(f_n)_{n \in \N^*}$ mit $f_n:\R\setminus\{-\frac{1}{n}\}\to\R^*$, definiert durch $f_n(x)=n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)$ konvergiert punktweise gegen die Funktion $f:\R^*\to\R^*$, $f(x)=\frac{1}{x}$.

Beweis.
Wir verwenden die Regel von L'Hôpital und die Grenzwert-Rechenregeln. Zunächst bemerke man, dass $f_n$ an der Stelle $-\frac{1}{n}$ nicht definiert ist (denn dann stünde dort $f(-\frac{1}{n})=n\ln(0)$, und $\ln(0)$ ist nicht definiert). Sei also nun im Folgenden $x \in \R\setminus\{-\frac{1}{n}\}$. Dann gilt
\[
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f_n(x)
&= \lim_{n \to \infty} n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right) \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)}{\frac{1}{n}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}\frac{1}{n}} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(L'Hôpital für 0/0)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{nx}{1+nx} \cdot \frac{nx^2 - (x+nx^2)}{(nx)^2}}{-\frac{1}{n^2}} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Kettenregel)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{nx}{1+nx} \cdot \frac{nx^2 - x -nx^2}{n^2 x^2}}{-\frac{1}{n^2}} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Distributivgesetz)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{nx}{1+nx} \cdot \frac{- x}{n^2 x^2}}{-\frac{1}{n^2}} \qquad \qquad \color{blue}{\text{}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{nx}{1+nx} \cdot \frac{x}{x^2}}{1} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Kürzen)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{1+nx} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Potenzgesetze, Kürzen)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} \frac{1}{\frac{1}{n}+x} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Distributivgesetz, klammere $n$ aus)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+x} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Kürzen)}} \\
&= \frac{1}{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}+x} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Grenzwertvertauschungssatz für stetige Funktionen)}} \\
&= \frac{1}{0+x} \\
&= \frac{1}{x} \\
&= f(x).
\end{align*}
\]
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Bevor wir uns an die gleichmässige Konvergenz wagen, wiederhole ich rasch zwei mögliche Formulierungen dieses Konvergenzbegriffes:

Definition (Gleichmässige Konvergenz).
Die Funktionenfolge $(g_n)_{n \in \N^*}$, $g_n:\R \to \R$, konvergiert gleichmässig gegen die Grenzfunktion $g:\R \to \R$, wenn
\[
\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \in \N^* \; \forall n \geq N \, \forall x \in \R : |g(x) - g_n(x)| < \varepsilon.
\]
Definition (Gleichmässige Konvergenz, äquivalent).
Sei $\|\cdot\|_\infty$ die Supremumsnorm $\|f\|_\infty = \sup\{|f(x)| \mid x \in \R\}$ auf dem Raum der Funktionen $\R \to \R$. Die Funktionenfolge $(g_n)_{n \in \N^*}$, $g_n:\R \to \R$, konvergiert gleichmässig gegen die Grenzfunktion $g:\R \to \R$, wenn
\[
\|g-g_n\|_\infty \to 0 \;\;(n \to \infty).
\]
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Ausgerüstet mit diesem "Werkzeug" formulieren wir folgende

Behauptung.
Die gerade definierte Funktionenfolge $(f_n)_{n \in \N^*}$ konvergiert gleichmässig gegen $f$.


Beweis.
Wir verwenden die Logarithmusreihe für $\ln(1+\square)$. Es gilt:
\[
\begin{align*}
0 \leq \lim_{n \to \infty} \|f-f_n\|_\infty
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \R\setminus\{-\frac{1}{n},0\}} |f(x)-f_n(x)| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \R\setminus\{-\frac{1}{n},0\}} \left| \frac{1}{x} - n\ln\left( \frac{1+nx}{nx} \right) \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \R\setminus\{-\frac{1}{n},0\}} \left| \frac{1}{x} - n\ln\left( 1 + \frac{1}{nx} \right) \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x} \left| \frac{1}{x} - n\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{\left( \frac{1}{nx} \right)^k}{k} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x} \left| \frac{1}{x} + n\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{\left( \frac{1}{nx} \right)^k}{k} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x} \left| \frac{1}{x} + n\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(nx)^k} \right|
\end{align*}
\]
Du brauchst nun "nur" noch zu zeigen, dass diese letzte Zeile nach oben durch etwas abgeschätzt werden kann, was mit $n \to \infty$ gegen Null geht.😉 Dann hast du nämlich
\[
0 \leq \lim_{n \to \infty} \|f-f_n\|_\infty \leq 0,
\] womit mit dem Einschliessungskriterium (Sandwichlemma) folgt, dass
\[
\lim_{n \to \infty} \|f-f_n\|_\infty = 0,
\] was zu zeigen war.

LG Phoensie😄

\(\endgroup\)


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Jay16Kay
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-06


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-02-05 11:48 - Phoensie in Beitrag No. 1 schreibt:
Lieber Jay16Kay

Ich betrachte zunächst den Fall der punktweisen Konvergenz. Hier hast du die richtige Lösungsidee verwendet, jedoch haben sich ein paar Rechenfehler eingeschlichen. Ich gebe dir deshalb hier eine Schritt-für-Schritt-Lösung an:

Behauptung.
Die Funktionenfolge $(f_n)_{n \in \N^*}$ mit $f_n:\R\setminus\{-\frac{1}{n}\}\to\R^*$, definiert durch $f_n(x)=n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)$ konvergiert punktweise gegen die Funktion $f:\R^*\to\R^*$, $f(x)=\frac{1}{x}$.

Beweis.
Wir verwenden die Regel von L'Hôpital und die Grenzwert-Rechenregeln. Zunächst bemerke man, dass $f_n$ an der Stelle $-\frac{1}{n}$ nicht definiert ist (denn dann stünde dort $f(-\frac{1}{n})=n\ln(0)$, und $\ln(0)$ ist nicht definiert). Sei also nun im Folgenden $x \in \R\setminus\{-\frac{1}{n}\}$. Dann gilt
\[
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f_n(x)
&= \lim_{n \to \infty} n\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right) \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)}{\frac{1}{n}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}\ln\left(\frac{1+nx}{nx}\right)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}\frac{1}{n}} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(L'Hôpital für 0/0)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{nx}{1+nx} \cdot \frac{nx^2 - (x+nx^2)}{(nx)^2}}{-\frac{1}{n^2}} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Kettenregel)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{nx}{1+nx} \cdot \frac{nx^2 - x -nx^2}{n^2 x^2}}{-\frac{1}{n^2}} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Distributivgesetz)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{nx}{1+nx} \cdot \frac{- x}{n^2 x^2}}{-\frac{1}{n^2}} \qquad \qquad \color{blue}{\text{}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{nx}{1+nx} \cdot \frac{x}{x^2}}{1} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Kürzen)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{1+nx} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Potenzgesetze, Kürzen)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} \frac{1}{\frac{1}{n}+x} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Distributivgesetz, klammere $n$ aus)}} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+x} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Kürzen)}} \\
&= \frac{1}{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}+x} \qquad \qquad \color{blue}{\text{(Grenzwertvertauschungssatz für stetige Funktionen)}} \\
&= \frac{1}{0+x} \\
&= \frac{1}{x} \\
&= f(x).
\end{align*}
\]
\(\endgroup\)

Hallo Phoensie

Vielen herzlichen Dank für die ausführliche Rechnung. Ja, da war ich etwas unsauber und habe den einen Multiplikationsterm vergessen weiter mit zu nehmen.

Den Rest zur gleichmässigen Konvergenz schaue ich mir gerade noch an.

Grüsse
Jay



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Jay16Kay
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-06


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-02-05 12:10 - Phoensie in Beitrag No. 3 schreibt:
Ausgerüstet mit diesem "Werkzeug" formulieren wir folgende

Behauptung.
Die gerade definierte Funktionenfolge $(f_n)_{n \in \N^*}$ konvergiert gleichmässig gegen $f$.


Beweis.
Wir verwenden die Logarithmusreihe für $\ln(1+\square)$. Es gilt:
\[
\begin{align*}
0 \leq \lim_{n \to \infty} \|f-f_n\|_\infty
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \R\setminus\{-\frac{1}{n},0\}} |f(x)-f_n(x)| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \R\setminus\{-\frac{1}{n},0\}} \left| \frac{1}{x} - n\ln\left( \frac{1+nx}{nx} \right) \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \R\setminus\{-\frac{1}{n},0\}} \left| \frac{1}{x} - n\ln\left( 1 + \frac{1}{nx} \right) \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x} \left| \frac{1}{x} - n\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{\left( \frac{1}{nx} \right)^k}{k} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x} \left| \frac{1}{x} + n\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{\left( \frac{1}{nx} \right)^k}{k} \right| \\
&= \lim_{n \to \infty} \sup_{x} \left| \frac{1}{x} + n\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(nx)^k} \right|
\end{align*}
\]
Du brauchst nun "nur" noch zu zeigen, dass diese letzte Zeile nach oben durch etwas abgeschätzt werden kann, was mit $n \to \infty$ gegen Null geht.😉 Dann hast du nämlich
\[
0 \leq \lim_{n \to \infty} \|f-f_n\|_\infty \leq 0,
\] womit mit dem Einschliessungskriterium (Sandwichlemma) folgt, dass
\[
\lim_{n \to \infty} \|f-f_n\|_\infty = 0,
\] was zu zeigen war.

LG Phoensie😄


\(\endgroup\)

Danke Dir auch hier vielmals für die Mühe mir die Definitionen nochmals aufzuzeigen. Die zweite Version mit der Supremumsnorm sagt mir leider gar nichts und auch wenn ich unser Skript der Analysis I (Uni Zürich) durchgehe, finde ich nichts dazu.

Ich schaue mir das Ganze nochmals an, leider werde ich wohl nicht mehr allzu viel damit machen können, da wir am Montag die Prüfung haben 🙃.

Aber solche Aufgaben sollten nicht all zu häufig vorkommen - meine letzte Hoffnung 😎.

Liebe Grüsse & ein schönes Wochenende
Jay😁



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-02-06


Hallo,
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Schaut für mich auf den ersten Blick nicht beschränkt aus.
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Jay16Kay
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-06


2021-02-06 17:33 - Wauzi in Beitrag No. 6 schreibt:
Hallo,
fed-Code einblenden
Schaut für mich auf den ersten Blick nicht beschränkt aus.
Gruß Wauzi

Hallo Wauzi

Wieso \(\frac{1}{n^2}\)? Also in welchem Zusammenhang?, als Folge \(a_n=\frac{1}{n^2}\) und Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) ist es sicher konvergent und auch nach oben und unten beschränkt.

Grüsse
Jay



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-02-06


Bei gleichmäßiger Konvergenz muß die Abschätzung gleichzeitig für alle x gelten. Ein üblicher Trick, dies zu widerlegen, ist das x in Abhängigkeit von n zu wählen. Hier zeigt sich der entscheidende Unterschied zu punktmäßigen Konvergenz-

Genauer:
fed-Code einblenden

Das letzte >= muß man noch extra begründen



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-02-06


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-02-05 11:48 - Phoensie in Beitrag No. 1 schreibt:
Zunächst bemerke man, dass $f_n$ an der Stelle $-\frac{1}{n}$ nicht definiert ist
\(\endgroup\)

\(f_n\) ist sogar auf \([-\frac{1}{n},0]\) nicht definiert, in der Aufgabenstellung war aber eh \(x>0\) vorausgesetzt.

Die ganze Argumentation mit der Potenzreihe hinkt so wie sie ausgeführt wurde denke ich, da die Potenzreihenentwicklung \(\log(1+\frac{1}{nx})=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}(\frac{1}{nx})^k}{k}\) nur für \(x\geq\frac{1}{n}\) gültig ist. Dort \(x=\frac{1}{n^2}\) einzusetzen führt zwar auf eine divergente Reihe, das hat dann aber nichts mehr mit dem Logarithmus zu tun (man könnte stattdessen aber \(x=\frac{1}{n}\) einsetzen, siehe unten).

Man könnte wohl auch einfach wie folgt argumentieren: \[\|f-f_n\|_\infty\geq|f(\frac{1}{n})-f_n(\frac{1}{n})|=n(1-\log(2)),\] also gilt sogar \(\|f-f_n\|_\infty\to\infty\).


Edit: Wenn Du die Supremumsnorm vermeiden möchtest, kannst Du auch die Negation der gleichmäßigen Konvergenz zeigen, also \(\exists\varepsilon>0\,\forall n_0\in\mathbb{N}\,\exists x>0\, \exists n\geq n_0: |f(x)-f_n(x)|\geq\varepsilon\). Du kannst hier z.B. einfach \(\varepsilon = 1-\log(2)\) wählen. Dann gilt für alle \(n_0\in\mathbb{N}\), dass mit \(n=n_0\) und \(x=\frac{1}{n_0}\) die Ungleichung \(|f(x)-f_n(x)|\geq\varepsilon\) erfüllt ist.



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-02-07


Hallo,
die Reihe für x=1/n2 war natürlich Unsinn. Hatte sich so schön angeboten. Dabei ist das direkte Einsetzen in die Definition ein zielführender Einzeiler
Gruß Wauzi



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