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 Halbkreisfunktion als Potenzreihe in x^2 darstellen |
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Sambucus
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 100
 |  Themenstart: 2021-02-05
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Hallo,
$k(x) = r(1-\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}})$
möchte ich als folgende Potenzreihe in $x^2$ darstellen für $\frac{x^2}{r^2}\leq 1$:
$k(x)= r(\frac{1}{2}\frac{x^2}{r^2} + \frac{1}{8}\frac{x^4}{r^4} + \frac{3}{48}\frac{x^6}{r^6}+...)$
Ich wollte die Taylorformel benutzen, komme aber nicht vorran:
$k'(x)= \frac{rx}{r^2\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}}\\
k''(x)= r(\frac{1}{r^2\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}} + \frac{x^2}{r^4(1-\frac{x^2}{r^2})^{-\frac{3}{2}}})=\frac{r}{r^2(1-\frac{x^2}{r^2})^{-\frac{3}{2}}}$
Jetzt soll als Entwicklungspunkt $x^2$ gewählt werden, das irritiert mich, da es sich um eine Variable handelt und keinen festen Wert, und dann auch noch zum Quadrat. Wie und warum geht das?
Taylorformel: $k(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{k^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
Mit $x_0=x^2$:
$k(x')= r(1-\sqrt{1-\frac{(x^2)^2}{r^2}} + \frac{r(x^2)}{r^2\sqrt{1-\frac{(x^2)^2}{r^2}}}(x'-x^2)+....)$
Das hat zumindest äußerlich nichts mit der Potenzreihe von oben zu tun.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die Vorgehensweise erklärt :)
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sonnenschein96
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Mitteilungen: 705
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-05
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Hallo Sambucus,
\quoteon(2021-02-05 21:01 - Sambucus im Themenstart)
Jetzt soll als Entwicklungspunkt $x^2$ gewählt werden, das irritiert mich, da es sich um eine Variable handelt und keinen festen Wert, und dann auch noch zum Quadrat. Wie und warum geht das?
\quoteoff
Das geht nicht. Ich glaube, Du hast die Aufgabe nicht richtig verstanden. Der Entwicklungspunkt ist wohl \(0\). Es gilt \(k(x)=l(x^2)\) mit \(l(y):=r(1-\sqrt{1-\frac{y}{r^2}})\). Du sollst denke ich \(l\) als Potenzreihe in der Form \(l(y)=\sum_{n=0}^\infty a_ny^n\) darstellen, dann gilt \(k(x)=l(x^2)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x^2)^n\), Du hast also eine Potenzreihe "in \(x^2\)" (und nicht etwa "um \(x^2\)"). Dabei ist vor allem die Potenzreihe der Funktion \(z\mapsto\sqrt{1+z}\) wichtig, siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Beispiele
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DrStupid
Senior 
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| Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-05
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\quoteon(2021-02-05 21:01 - Sambucus im Themenstart)
Jetzt soll als Entwicklungspunkt $x^2$ gewählt werden
\quoteoff
Wenn Du obige Reihe erhalten willst, dann musst Du um Null entwickeln. Du kannst Dir übrigens eine Menge Arbeit ersparen, wenn Du mit
\(z = \frac{{x^2 }}{{r^2 }}\)
substituierst.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Sambucus
Wenig Aktiv 
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-06
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Ah, vielen Dank :)
Ist übrigens keine Aufgabe gewesen, sondern ist Teil eines Abschnitts in meinem Buch, bei dem man einen parabolischen Spiegel durch einen Kreis approximiert.
Gute Nacht euch beiden !
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DrStupid
Senior
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-06
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\quoteon(2021-02-06 01:22 - Sambucus in Beitrag No. 3)
Ist übrigens keine Aufgabe gewesen, sondern ist Teil eines Abschnitts in meinem Buch, bei dem man einen parabolischen Spiegel durch einen Kreis approximiert.
\quoteoff
Warum approximiert man einen parabolischen Spiegel durch einen Kreis, der dann als Potenzreihe in \(x^2\) dargestellt wird? Oder sollte damit nur gezeigt werden, dass der Kreis bei hinreichend kleinem \(x\) eine gute Näherung für die Parabel ist?
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Sambucus
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-06
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\quoteon(2021-02-06 17:09 - DrStupid in Beitrag No. 4)
\quoteon(2021-02-06 01:22 - Sambucus in Beitrag No. 3)
Ist übrigens keine Aufgabe gewesen, sondern ist Teil eines Abschnitts in meinem Buch, bei dem man einen parabolischen Spiegel durch einen Kreis approximiert.
\quoteoff
Warum approximiert man einen parabolischen Spiegel durch einen Kreis, der dann als Potenzreihe in \(x^2\) dargestellt wird? Oder sollte damit nur gezeigt werden, dass der Kreis bei hinreichend kleinem \(x\) eine gute Näherung für die Parabel ist?
\quoteoff
Danke für die Rückfrage :), mein Versuch eine gute Antwort zu geben:
Wenn man Licht als Strahl betrachtet, so werden bei einem parabolischen Spiegel parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen genau in den Brennpunkt F reflektiert.
Diese Spiegel sind allerdings schwerer herzustellen und weniger vebreitet als sphärische Spiegel.
Letztere haben aber den Nachteil, dass parallel einfallenden Strahlen nicht genau in einem Punkt fokussiert werden (sphärische Aberration).
Ist jedoch der Abstand der Lichtstrahlen zur optischen Achse hinreichend klein (paraxiale Strahlen), so wird die sphärische Aberration hinreichend verringert, s.d. für paraxiale Strahlen beide Spiegeltypen sehr ähnliche Resultate liefern.
Insbesondere hilft das bei den späteren Formeln für sphärische Spiegel, da man für parabolische Spiegel relativ einfach die Position des Brennpunktes bestimmen kann, da es dort für achsenparallele Strahlen nicht zur sphärischen Aberration kommt.
Wenn "x" der Abstand der Strahlen zur optischen Achse ist, so gehören kleine "x"-Werte zu paraxiale Strahlen.
Was zu deiner Überlegung passt:
\quoteon(2021-02-06 17:09 - DrStupid in
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