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Mechanik » Theoretische Mechanik » Berechnung von Zeitableitung einer Hamilton-Funktion
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Universität/Hochschule Berechnung von Zeitableitung einer Hamilton-Funktion
Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-14



Hallo,

ich habe leider ein Problem bei der Lösung zu der folgenden Aufgabe einen Fehler in meiner Rechnung zu finden.  



Da das System einen Freiheitsgrad hat, habe ich eine generalisierte Koordinate $q=x$.
Es folgt für die Euler-Lagrange-Gleichung

$$ 0=\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q}
=(\alpha \ddot{x} - \alpha \dot{x} + \beta x) e^{- \gamma t}
$$
was an die Bewegungsgleichung eines harm. Oszillators erinnert. Der generalisierte Impuls lautet

$$ p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}
=\alpha \dot{q} e^{- \gamma t}
=\alpha \dot{x} e^{- \gamma t}.  
$$
b) Für die Hamilton-Funktion erhalte ich, wenn ich die Geschwindigkeit über den Impuls ausdrücke

$$ H=p \dot{q} - L
=\frac{p^2}{\alpha} e^{\gamma t}-\frac{1}{2} (\alpha \dot{x}^2 - \beta x^2) e^{- \gamma t}.  
$$
c) Für die hamiltonschen Gleichungen habe ich

$$ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=2 \frac{p}{\alpha e^{-\gamma t}}
$$
und

$$ \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}=- \beta x e^{- \gamma t}.
$$
Mein Problem liegt nun bei der totalen Zeitableitung

$$ \frac{dH}{dt}
=\frac{2p \dot{p}}{\alpha e^{- \gamma t}}+\frac{p^2}{\alpha} \gamma e^{\gamma t}
+(\alpha \dot{x} \ddot{x} - \beta x \dot{x}) e^{-\gamma t}
-\frac{1}{2} (\alpha \dot{x}^2 - \beta x^2) \gamma e^{- \gamma t}
$$
Das Problem ist, dass die totale Zeitableitung die Form

$$ \frac{dH}{dt}=\dot{q} \dot{p} - \dot{p} \dot{q}+\frac{\partial H}{\partial t}
=\frac{\partial H}{\partial t}
=-\frac{\partial L}{\partial t}
$$
annehmen muss. Ich habe hier aber

$$ \frac{2p \dot{p}}{\alpha e^{- \gamma t}}+\frac{p^2}{\alpha} \gamma e^{\gamma t}
=-\dot{q} \dot{p} + \dot{q} p
$$
weshalb ich davon ausgehe, dass ich hier einen Fehler gemacht habe. Ich kann diesen aber leider nicht finden.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-14


Hallo Mandacus,
$$L(x,\dot x,t)=\frac12(\alpha\dot x^2-\beta x^2)e^{-\gamma t}$$$$\frac{\partial}{\partial \dot x}L=\alpha\dot x\;e^{-\gamma t}$$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial}{\partial \dot x}L=\alpha\ddot x\;e^{-\gamma t}-\alpha\gamma\dot x\;e^{-\gamma t}$$In Deiner ersten Zeile fehlt dir ein $\gamma$ vor dem $\dot x$.
Weiter:
$$p=\alpha \dot{x} e^{- \gamma t}$$$$p\dot q=\alpha \dot{x}^2 e^{- \gamma t}$$ $$H=\frac{1}{2} (\alpha \dot{x}^2 + \beta x^2) e^{- \gamma t}=\frac{1}{2} \left(\frac{p^2}\alpha e^{2 \gamma t} + \beta x^2\right) e^{- \gamma t}$$ $$H(p,q,t)=\frac{p^2}{2\alpha} e^{\gamma t} + \frac12\beta q^2e^{- \gamma t}$$ $$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{\alpha}e^{\gamma t}$$
Weiter habe ich noch nicht nachgerechnet.

Ciao,

Thomas



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