| Autor |
  Atwoodsche Maschine |
|
S3bi
Aktiv 
Dabei seit: 02.01.2021
Mitteilungen: 93
Wohnort: Heidelberg
 |  Themenstart: 2021-02-19
|
Hallo zusammen,
in einer Aufgabe heißt es, dass zwei gleich schwere Massen über ein massenloses Seil miteinander verbunden sind. Die eine liegt reibungslos auf der einen Ebene und die andere hängt herunter. Dazwischen ist dann noch eine Umlenkrolle mit einem Trägheitsmoment.
Es soll die Beschleunigung der beiden Massen berechnet werden.
Mein Ansatz wäre mit Energieerhaltung:
E_pot = 2 E_kin + E_rot
Dann habe ich aber Geschwindigkeiten und keine Beschleunigung. In der Gleichung habe ich auch relativ "viele" v^2 - Wie komme ich dann auf a?
|
 Profil
|
DrStupid
Senior 
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 821
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-19
|
\quoteon(2021-02-19 09:11 - S3bi im Themenstart)
In der Gleichung habe ich auch relativ "viele" v^2 - Wie komme ich dann auf a?
\quoteoff
Wie hängen denn a und v zusammen?
Eventuell solltest Du auch die Möglichkeit in Betracht ziehen, nicht mit Energien, sondern mit Kräften und Drehmomenten zu rechnen. Da stehen die Beschleunigungen von Anfang an in der Gleichung.
|
Profil
|
S3bi
Aktiv
Dabei seit: 02.01.2021
Mitteilungen: 93
Wohnort: Heidelberg
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19
|
ja a ist die Ableitung nach der Zeit von v.
bei Kräften habe ich ja die Gewichtskraft des einen Blocks, die nach unten zieht minus der Seilkraft.
Bzw: F_ges = F_2 <=> Ma= mg <=> a= (m/M)g mit M=2m, da die beiden gleich groß sind.
Das Drehmoment ist \[ M=I \dot\omega \]
Aber wie passen die zusammen?
|
Profil
|
DrStupid
Senior
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 821
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-19
|
\quoteon(2021-02-19 09:46 - S3bi in Beitrag No. 2)
ja a ist die Ableitung nach der Zeit von v.
\quoteoff
Das heißt, dass sich die vielen v² bei der Ableitung der Energie nach der Zeit in viele 2·v·a verwandeln sollten.
\quoteon(2021-02-19 09:46 - S3bi in Beitrag No. 2)
bei Kräften habe ich ja die Gewichtskraft des einen Blocks, die nach unten zieht minus der Seilkraft.
\quoteoff
Du hast sogar zwei verschiedene Seilkräfte. Eine wirkt zwischen der hängenden Masse und der Umlenkrolle und die andere zwischen der horizontal gleitenden Masse und der Umlenkrolle.
\quoteon(2021-02-19 09:46 - S3bi in Beitrag No. 2)
Bzw: F_ges = F_2 <=> Ma= mg <=> a= (m/M)g mit M=2m, da die beiden gleich groß sind.
\quoteoff
Das würde gelten, wenn die Umlenkrolle kein Trägheitsmoment hätte.
\quoteon(2021-02-19 09:46 - S3bi in Beitrag No. 2)
Das Drehmoment ist \[ M=I \dot\omega \]
Aber wie passen die zusammen?
\quoteoff
Wie hängen denn \(\omega\) und \(v\) zusammen?
|
Profil
|
S3bi
Aktiv
Dabei seit: 02.01.2021
Mitteilungen: 93
Wohnort: Heidelberg
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19
|
Stimmt aus den v^2 werden 2av
2 Unterschiedliche Seilkräfte machen auch Sinn
und \[\omega = \frac{v}{r}\] müsste ich dann auch r nach der Zeit ableiten? (nicht meine Lieblingsaufgabe :( )
Wenn ich meine Energien habe:
\(
E_{pot} &= 2 E_{kin} + E_{rot} \\
mgh &= mv^2 + 1/2 I \omega^2 \\
mgh &= mv^2 + 1/2 I \frac{v^2}{r^2} \\
\frac{d}{dt}\left( mgh \right) &= \frac{d}{dt}\left m + \frac{I} \right){2r^2}v^2\\
0 &= \frac{d}{dt}\left m + \frac{I} \right) 2va
\)
Also das wäre zur Energie, aber dann wüsste ich nicht weiter.
\(
M &= I \dot\omega \\
M &= F \cdot r \\
F &= \frac{I \dot\omega}{r}
\intertext{dann:}
F_g = mg
\)
Und das Gesamtgewicht wäre 2m - übersehe ich was? Was kommt jetzt?
(und wie schreibe ich das schöner in der LaTeX Umgebung hier?)
|
Profil
|
DrStupid
Senior
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 821
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-19
|
\quoteon(2021-02-19 12:38 - S3bi in Beitrag No. 4)
\[\omega = \frac{v}{r}\] müsste ich dann auch r nach der Zeit ableiten?
\quoteoff
Ist der Radius der Umlenkrolle zeitabhängig?
\quoteon(2021-02-19 12:38 - S3bi in Beitrag No. 4)
Wenn ich meine Energien habe:
\(E_{pot} = 2 E_{kin} + E_{rot} \)
\(mgh = mv^2 + 1/2 I \omega^2 \)
\(mgh = mv^2 + 1/2 I \frac{v^2}{r^2} \)
\(\frac{d}{dt}\left( mgh \right) = \frac{d}{dt}\left( m + \frac{I}{2r^2} \right)v^2\)
\quoteoff
Bis hier hin ist es richtig. Beim nächsten Schritt musst Du überlegen was \(\dot h\) ist.
\quoteon(2021-02-19 12:38 - S3bi in Beitrag No. 4)
\(M = I \dot\omega \)
\(M = F \cdot r \)
\(F = \frac{I \dot\omega}{r}\)
\(dann:\)
\(F_g = mg\)
Und das Gesamtgewicht wäre 2m - übersehe ich was? Was kommt jetzt?
\quoteoff
\(F\) soll offenbar die Kraft sein, die tangential an der Umlenkrolle angreift. Hast Du eine Idee wovon die abhängen könnte?
\quoteon(2021-02-19 12:38 - S3bi in Beitrag No. 4)
(und wie schreibe ich das schöner in der LaTeX Umgebung hier?)
\quoteoff
Der Interpreter mag anscheinend keine Zeilenumbrüche, &= oder Syntaxfehler.
|
Profil
|
S3bi
Aktiv
Dabei seit: 02.01.2021
Mitteilungen: 93
Wohnort: Heidelberg
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19
|
Der Radius der Umlenkrolle verändert sich nicht. Dann bleibt r konstant.
\(\dot h\)ist dann wohl die Geschwindigkeit, da h ja der Ort quasi ist.
\[
mgv= \left(m+\frac{I}{2r^2} \right) 2va | :v \\
mg= \left(m+\frac{I}{2r^2} \right) 2a \\
a = \frac{mg}{2\left(m+\frac{I}{2r^2} \right)} \\
\]
wäre es alternativ möglich, wenn man die Kraft der Rolle als bremsend in die Kraftgleichung einsetzt?
Vielen Dank schonmal
|
Profil
|
DrStupid
Senior
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 821
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-19
|
\quoteon(2021-02-19 15:32 - S3bi in Beitrag No. 6)
wäre es alternativ möglich, wenn man die Kraft der Rolle als bremsend in die Kraftgleichung einsetzt?
\quoteoff
Ja, so funktioniert der Ansatz über die Kräfte. Du kannst auch die Seilkräfte mit einbeziehen. Das ergibt dann ein lineares Gleichungssystem für die beiden Seilkräfte und die Beschleunigung.
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
