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Universität/Hochschule J Integrale vertauschen
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-22 21:35

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Guten Abend miteinander.

Um Vertauschbarkeit von Integralen zu üben, betrachte ich Integrale der Form $\int \int f(x,y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x$, die ich gerne als $\int \int f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y$ geschrieben hätte.

Zum Beispiel habe ich hier versucht, mit Indikatorfunktionen zu arbeiten, um den Satz von Fubini auf einem Quadrat anzuwenden, aber ich weiss nicht, wie ich die in der Indikatorfunktion gespeicherte Information zu den Grenzen wieder "entpacke":
\[
\begin{align*}
    \int_0^1 \left( \int_{\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2} f(x,y) \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x
    &= \int_0^1 \left( \int_0^1 \mathbf{1}_{\{\sqrt{1-x^2} \leq y \leq 1-x^2\}}(x,y) \cdot  f(x,y) \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x \\
    &= \int_0^1 \left( \int_0^1 \mathbf{1}_{\{\sqrt{1-x^2} \leq y \leq 1-x^2\}}(x,y) \cdot  f(x,y) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y \\
\end{align*}
\]
Wie kommt man hier weiter?🤔

LG Phoensie

PS: Über $f$ ist nichts weiter bekannt.
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-22 21:46


2021-02-22 21:35 - Phoensie im Themenstart schreibt:
Wie kommt man hier weiter?🤔

Schau dir vielleicht mal die erste Gleichheit in Beitrag Nr. 2 in deinem letzten Thread an.



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-22 22:13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Hallo Phoensie,

2021-02-22 21:35 - Phoensie im Themenstart schreibt:
PS: Über $f$ ist nichts weiter bekannt.

\(f\) sollte aber schon integrierbar auf dem gegebenen Bereich sein :)


2021-02-22 21:35 - Phoensie im Themenstart schreibt:
Zum Beispiel habe ich hier versucht, mit Indikatorfunktionen zu arbeiten, um den Satz von Fubini auf einem Quadrat anzuwenden, aber ich weiss nicht, wie ich die in der Indikatorfunktion gespeicherte Information zu den Grenzen wieder "entpacke":

Der Ansatz ist richtig, aber die Indikatorfunktion müsste \(\chi_{[1-x^2,\sqrt{1-x^2}]}(y)\) sein, vor dem Integral steht dann noch ein Minus. Für \(x,y\in[0,1]\) ist aber \(\chi_{[1-x^2,\sqrt{1-x^2}]}(y)=\chi_{[\sqrt{1-y},\sqrt{1-y^2}]}(x)\) (stelle die Ungleichungen um) und es folgt
$$ \begin{align*}
\int_0^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2}f(x,y)\,dy\,dx&=-\int_0^1\int_{1-x^2}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\,dy\,dx=-\int_0^1\int_0^1\chi_{[1-x^2,\sqrt{1-x^2}]}(y)f(x,y)\,dy\,dx\\
&=-\int_0^1\int_0^1\chi_{[\sqrt{1-y},\sqrt{1-y^2}]}(x)f(x,y)\,dx\,dy=-\int_0^1\int_{\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)\,dx\,dy.
\end{align*}
$$
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24 00:37


2021-02-22 22:13 - sonnenschein96 in Beitrag No. 2 schreibt:
stelle die Ungleichungen um

Diese kleine Bemerkung hat den Knoten gelöst. Danke Sonnenschein96 und zippy, ich verstehe nun eure Überlegungen.😄



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