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| Autor |
  Integrale vertauschen |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 341
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 |      Themenstart: 2021-02-22 21:35
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Guten Abend miteinander.
Um Vertauschbarkeit von Integralen zu üben, betrachte ich Integrale der Form $\int \int f(x,y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x$, die ich gerne als $\int \int f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y$ geschrieben hätte.
Zum Beispiel habe ich hier versucht, mit Indikatorfunktionen zu arbeiten, um den Satz von Fubini auf einem Quadrat anzuwenden, aber ich weiss nicht, wie ich die in der Indikatorfunktion gespeicherte Information zu den Grenzen wieder "entpacke":
\[
\begin{align*}
\int_0^1 \left( \int_{\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2} f(x,y) \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x
&= \int_0^1 \left( \int_0^1 \mathbf{1}_{\{\sqrt{1-x^2} \leq y \leq 1-x^2\}}(x,y) \cdot f(x,y) \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x \\
&= \int_0^1 \left( \int_0^1 \mathbf{1}_{\{\sqrt{1-x^2} \leq y \leq 1-x^2\}}(x,y) \cdot f(x,y) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y \\
\end{align*}
\]
Wie kommt man hier weiter?🤔
LG Phoensie
PS: Über $f$ ist nichts weiter bekannt.\(\endgroup\)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1889
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-22 21:46
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2021-02-22 21:35 - Phoensie im Themenstart schreibt:
Wie kommt man hier weiter?🤔
Schau dir vielleicht mal die erste Gleichheit in Beitrag Nr. 2 in deinem letzten Thread an.
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 347
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-22 22:13
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Hallo Phoensie,
2021-02-22 21:35 - Phoensie im Themenstart schreibt:
PS: Über $f$ ist nichts weiter bekannt.
\(f\) sollte aber schon integrierbar auf dem gegebenen Bereich sein :)
2021-02-22 21:35 - Phoensie im Themenstart schreibt:
Zum Beispiel habe ich hier versucht, mit Indikatorfunktionen zu arbeiten, um den Satz von Fubini auf einem Quadrat anzuwenden, aber ich weiss nicht, wie ich die in der Indikatorfunktion gespeicherte Information zu den Grenzen wieder "entpacke":
Der Ansatz ist richtig, aber die Indikatorfunktion müsste \(\chi_{[1-x^2,\sqrt{1-x^2}]}(y)\) sein, vor dem Integral steht dann noch ein Minus. Für \(x,y\in[0,1]\) ist aber \(\chi_{[1-x^2,\sqrt{1-x^2}]}(y)=\chi_{[\sqrt{1-y},\sqrt{1-y^2}]}(x)\) (stelle die Ungleichungen um) und es folgt
$$
\begin{align*}
\int_0^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2}f(x,y)\,dy\,dx&=-\int_0^1\int_{1-x^2}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\,dy\,dx=-\int_0^1\int_0^1\chi_{[1-x^2,\sqrt{1-x^2}]}(y)f(x,y)\,dy\,dx\\
&=-\int_0^1\int_0^1\chi_{[\sqrt{1-y},\sqrt{1-y^2}]}(x)f(x,y)\,dx\,dy=-\int_0^1\int_{\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)\,dx\,dy.
\end{align*}
$$\(\endgroup\)
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 341
Herkunft: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24 00:37
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2021-02-22 22:13 - sonnenschein96 in Beitrag No. 2 schreibt:
stelle die Ungleichungen um
Diese kleine Bemerkung hat den Knoten gelöst. Danke Sonnenschein96 und zippy, ich verstehe nun eure Überlegungen.😄
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