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Strukturen und Algebra » Polynome » Irreduzibilität Polynom in Q[X,Y]
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Universität/Hochschule J Irreduzibilität Polynom in Q[X,Y]
dogemagni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-23


Hallo zusammen :),

ich soll zeigen, dass das Polynom \(X^4+X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^4\in \mathbb{Q}[X,Y]\) irreduzibel ist. Mir scheint zunächst Eisenstein nicht zu helfen. Auch der Automorphismus \(X\mapsto X+1\) scheint unbrauchbar. Reduktionskriterium wüsste ich auch nicht direkt, dass es hilft. Hat jemand vielleicht Ideen, wie man dieses Polynom angeht?

Gruß

dog



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-23


2021-02-23 19:25 - dogemagni im Themenstart schreibt:
Hallo zusammen :),

ich soll zeigen, dass das Polynom \(X^4+X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^4\in \mathbb{Q}[X,Y]\) irreduzibel ist. Mir scheint zunächst Eisenstein nicht zu helfen. Auch der Automorphismus \(X\mapsto X+1\) scheint unbrauchbar.
Vielleicht kannst du den Automorphismus abwandeln, sodass das Eisensteinkriterium hilft.
Wenn
\[
p(X,Y)=X^4+X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^4=\frac{X^5-Y^5}{X-Y}
\] ist
\[
p(X+Y,Y)=\frac{(X+Y)^5-Y^5}{X}=\sum_{i=1}^5\binom{5}{i}X^{i-1}Y^{5-i}
\]



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dogemagni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24


Hallo, ochen :)

Das sieht ja schon mal gut aus! Es braucht sicherlich Erfahrung -, aber kannst du mir erklären, wie du darauf gekommen bist? Ist das ein Standardtrick?

Nun haben wir ja \(f=X^4+5YX^3+10Y^2X^2+10Y^3X+5Y^4\in(\mathbb{Q}[Y])[X]\). Dann Wählen wir \(p=5Y\) (irreduzibel in \(\mathbb{Q}[Y]\) und somit auch prim (HIR)) und nach Eisenstein ist \(f\) in \(\mathbb{Q}(Y)[X]\) irreduzibel und da primitiv auch in \(\mathbb{Q}[Y][X]=\mathbb{Q}[X,Y]\). Richtig?


Gruß

dog



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-24


Wie man darauf kommen kann: Die Gleichung ist die homogenisierte 5-te Kreisteilungsgleichung.



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dogemagni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25


Danke für den Hinweis, kurtg! Das ist sehr hilfreich. Da habe ich zwar bis dato nichts von gehört, aber jetzt seh' ichs :) Und nun kommt mir auch die Technik bekannter vor -, denn quasi analog kann man ja auch die Irreduzibilität des p-ten (p prim) Kreisteilungspolynoms zeigen.

Kann mir noch einer kurz mein Eisenstein-Argument hier bestätigen?

Vielen Dank und genießt den Tag

dog



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-25


Der konstante Term von $f$ ist $5Y^4$, ist also durch $p^2$ teilbar. Du musst dir etwas anderes überlegen. Eisenstein ist in der Form nicht anwendbar, denke ich. (Übrigens: $5Y$ ist zu $Y$ assoziiert, sodass man hier genauso gut $p=Y$ nehmen könnte, wenn es denn ginge.)

Ich würde es so machen, wie kurtg bereits angedeutet hat. Überlege dir allgemein, dass die Homogenisierung eines irreduziblen Polynoms ebenfalls irreduzibel ist (von "offensichtlichen" Ausnahmen abgesehen; Teil der Aufgabe ist es, diese Ausnahmen zu finden).



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dogemagni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25


Hey, Triceratops:)

Ja, dass \(Y\sim 5Y\) hat mich nämlich auch stutzig gemacht. Dann dachte ich aber, dass ja ein Element \(q\) aus einem Ring \(R\) irreduzibel ist, wenn \(q\notin R^*\) und für alle \(a,b\in R: ab=q\) folgt, dass \(a\lor b\) Einheit ist.
Hier dachte ich dann für \(p=5Y\), dass dies offenbar keine Einheit ist und zumindest alle weiteren Produkte (die mir spontan einfallen) \(ab\), die \(p\) ergeben, auf die Definition passen. Das ist natürlich kein Beweis.

Aber dann überlege ich nochmal weiter.

Gruß

dog

Edit: Oh, klar. Selbst dann gehts ja nicht x) Denkfehler.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-25


Ja $p$ ist zwar ein Primelement, aber im Eisenstein-Kriterium steht, dass $p^2$ nicht den konstanten Term teilen darf.



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dogemagni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25


An Interessierte: Wähle \(p=Y-1\) (bzw. \(X-1\), je nachdem, in welcher Unbestimmten man das Polynom auffasst) und dann Reduktionskriterium.

Gruß

dog



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