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 Beweis maximales Ideal |
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Banana
Junior 
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 17
 |      Themenstart: 2021-02-23 22:25
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Hallo an die Runde,
zur Vorbereitung bearbeite ich grad eine Aufgabe, wo mir leider die Idee zum Beweis fehlt:
  
Sei R:=\IZ[x] und p eine Primzahl. Weiter sei für jedes a\el\ \IZ definiert: J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ. Zeige, dass J_a für jedes a\el\ \IZ ein maximales Ideal von R ist. Meine Idee war zunächst, dass ich erstmal die Menge des Ideals aufzeige und habe daher erhalten: Sei n<=m, dann ist J_a={p*(d_o+d_1x+...+d_n*x^n)+(x-a)(b_o+...+b_mx^m : d_0,...d_n,b_0,...b_m \el\ \IZ} ={p*d_0 -a*b_0 +(pd_1 +(1-a)b_0)x+...+(pd_n-(1-a)b_n)x^n-ab_(n+1) x^(n+1)-...-ab_m x^m : d_0,...d_n,b_0,...b_m \el\ \IZ} Uff, ganz schön lang, aber anscheinend irgendwie nicht hilfreich. Ich habe versucht, mit dem Absolutglied p*d_0-a*b_0 zu arbeiten. Dort hatte ich gedacht g_0 als den ggT von p und (-a) zu definieren. Allerdings ohne Erfolg. Meine andere Idee über den Homomorphiesatz zu arbeiten, blieb auch ohne Erfolg, da mir kein passender Homomorphismus einfällt.
Ich hoffe, ihr könnt mir Tipps geben, wie ich an eine Lösung zu der Aufgabe gelange :)
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1180
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-24 06:44
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,
Homomorphismussatz bzw. Isomorphismussätze ist schon nicht schlecht. Bei dir ist übrigens ein Tippfehler, es ist $J_a = a \mathbb{Z}[x] + (x-a) \mathbb{Z}[x] = (p, x-a)_{\mathbb{Z}[x]}$.
Der Quotient ist $R/J_a \cong \mathbb{F}_p$.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24 18:51
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Danke dir für deine Antwort.
Die Idee hatte ich auch schon, einfach die Koeffizienten auf die Restklassenelemente abzubilden. Aber es hat zumindest mit meiner Rechnung nicht ganz geklappt.
Bezüglich des Tippfehlers. Ich hab es genau so aus dem Buch, also eigentlich kein Tippfehler. Es steht explizit da, dass \(J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ\). Kannst du mir erklären, wo da ein Fehler sein könnte ?
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1180
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-24 19:10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
2021-02-24 18:51 - Banana in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich hab es genau so aus dem Buch, also eigentlich kein Tippfehler. Es steht explizit da, dass \(J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ\). Kannst du mir erklären, wo da ein Fehler sein könnte ?
Dann Tippfehler im Buch ;-) Dieses $J_a$ is kein Ideal in $R$ (es scheitert an der Skalarmultiplikation).
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Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24 19:13
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Okay, dann hoffe ich, dass es wirklich ein Tippfehler war. Aber du hast durchaus Recht, es würde (zumindest aus meiner Sicht) sonst auch keinen großen Sinn ergeben.
Dann vielen liebe Dank :)
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Link | | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 722
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-25 00:01
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@Banana
Was Kezer im Beitrag 1 geschildert hat (und was du auch glauben würdest) gilt recht allgemein, s. Triceratops' Antworten in dieser Diskussion.
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