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 p-Sylowgruppen und Auflösbarkeit |
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Timethie
Junior 
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 9
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Hallöle an alle,
ich bereite mich derzeit mit alten Klausuraufgaben auf meine Klausur in Algebra vor und da kam mir folgende Aufgabe über den Weg, bei der meine ein paar Details unklar sind:
Seien $2 < p < q$ Primzahlen, $G$ eine Gruppe mit $\text{ord}(G) = p^2q^2$. Man zeige:
a.) $G$ besitzt nur eine $q$-Sylowgruppe.
b.) $G$ ist auflösbar.
c.) Ist $p$ kein Teiler von $q^2-1$, so ist $G$ sogar abelsch.
Bemerkung: Sie dürfen verwenden, dass Gruppen, deren Ordnung das Quadrat einer Primzahl ist, abelsch sind.
Bezüglich Teilaufgabe a.)
Ich weiß ich nicht, wie ich ausschließe, $s_q = p^2$ ist, wobei ich $s_q$ als die Anzahl der $q$-Sylowgruppen bezeichne.
Ich kam soweit, dass nach den Sylowsätzen $s_q \ | \ p^2q^2$ und wegen $s_q \equiv 1 \ \text{mod} \ q$ alle Vielfache von $q$ nicht beachtet werden müssen (also $s_q \in \{1,p,p^2\}$) und $s_q \neq p$, da sonst $p > q$ wäre. Also $s_q \in \{1,p^2\}$. Wie zeige ich jetzt noch, dass $s_q \neq p^2$?
Bezüglich Teilaufgabe b.)
Hier meine ich die Begründung gefunden zu haben, dass die $q$-Sylowgruppe (nennen wir sie $S_q$) ein Normalteiler von $G$ ist. Da nun $\text{ord}(G/S_q) = p^2$ und $S_q \cong \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ gilt (Edit: Das stimmt nicht, das wurde mir jetzt klar. Aber es gilt $\text{ord}(S_q) = q^2$ und damit ist diese ebenfalls abelsch und auflösbar), sind beide Gruppen abelsch, damit auflösbar und damit ist auch $G$ auflösbar. Hier wäre nur meine Frage ob das so stimmt oder ob ich irgendetwas vergessen habe.
Bezüglich Teilaufgabe c.)
Hier habe ich eigentlich absolut keine Ahnung. Meine Idee war jetzt, dass man dann ähnlich wie davor argumentieren kann, dass es auch nur eine $p$-Sylowgruppe geben kann (weil hier nach Definition $s_p \neq q^2$) und dementsprechend alles weitere wie in a.) und b.) folgt. Also dann auch $S_p$ abelsch ist wegen $S_p \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ und $G/S_p$ ebenfalls abelsch ist. Ich weiß nur nicht, wie man hier dann weiter argumentiert oder ob dieses Wissen überhaupt hilft. Kann man vielleicht irgendwie folgern, dass $G \cong (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^2 \times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ und damit weitermachen?
Schonmal vielen Dank für die Hilfe. Dieses Forum hat mir bisher sehr geholfen :)
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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5578
Wohnort: Berlin
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25
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b) und entsprechend auch einige der Ideen bei c) sind noch nicht richtig, denn auch $\IZ/q^2$ ist eine abelsche Gruppe der Ordnung $q^2$; die hast du nicht berücksichtigt. Aber das ist auch vollkommen irrelevant: Bei b) braucht man lediglich den Tipp aus der Aufgabenstellung, dass Gruppen von Primzahlquadratordnung abelsch sind. Die Klassifikation (also dass es genau zwei gibt) brauchst du (jedenfalls an der Stelle) nicht.
Zum Rest schreibe ich vielleicht später etwas.
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helmetzer
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Mitteilungen: 1513
|  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-25
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Formellina
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Mitteilungen: 3
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-25
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Ich stecke gerade auch mitten in den Vorbereitungen zur Algebra Klausur und danke jetzt schon mal für den tollen Support hier.
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