| Autor |
 Bild(A)=Bild(A transponiert) |
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ghxk
Junior 
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 11
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Hallo zusammen
Wie kann ich die Gleichheit von einer (nxn) Matrix über den reellen Zahlen von
Bild(A)=Bild(AT)
beweisen?
AT = (A transponiert)
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46364
Herkunft: Dresden
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-26
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Hi ghxk,
gar nicht.
Gruß Buri
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6777
Herkunft: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-26
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2021-02-26 11:20 - ghxk im Themenstart schreibt:
Wie kann ich die Gleichheit von einer (nxn) Matrix über den reellen Zahlen von
Bild(A)=Bild(AT)
beweisen?
Hallo ghxk,
willkommen auf dem Matheplaneten.
Was meinst du mit "Gleichheit einer \(n\times n\)-Matrix"? Gleichheit mit was?
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ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26
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Es sei A eine nxn Matrix mit reellen Einträgen. Zu zeigen wäre, dass :
Bild(A) = Bild(A*A$^{T})
wobei "A$^{T}" die Matrix A transponiert bedeuten sollte.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6777
Herkunft: Milchstraße
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-26
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2021-02-26 12:44 - ghxk in Beitrag No. 3 schreibt:
Es sei A eine nxn Matrix mit reellen Einträgen. Zu zeigen wäre, dass :
$Bild(A) = Bild(A*A^{T})$
wobei "$A^{T}$" die Matrix A transponiert bedeuten sollte.
Wie kommst du darauf, dass das gilt?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2000
 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-26
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2021-02-26 12:44 - ghxk in Beitrag No. 3 schreibt:
Bild(A) = Bild(A*A$^{T}$)
Das ist etwas anderes als die (falsche) Aussage $\operatorname{Bild}(A)=\operatorname{Bild}(A^{\rm T})$, die im Startbeitrag und in der Überschrift dieses Threads steht.
Um $\operatorname{Bild}(A)=\operatorname{Bild}(AA^{\rm T})$ zu zeigen, solltest du dich an den Zusammenhang zwischen $\operatorname{Bild}(A^{\rm T})$ und dem Kern von $A$ erinnern.
--zippy
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ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26
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Hallo zippy
Ja, die stehen ja senkrecht aufeinander, womit das Skalarprodukt der Vektoren aus dem Kern mit den Vektoren aus dem Bild von A transponiert 0 ist.
Wie hilft mir das aber beim gefragten Beweis?
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2667
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
die Inklusion $\supseteq$ ist leicht zu zeigen. Es genügt daher (mit zippys Tipp) zu zeigen, dass beide Bilder die gleiche Dimension haben.\(\endgroup\)
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ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-01
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Hallo zusammen.
Leider bin ich noch nicht auf die Lösung gekommen, selbst mit euren Tipps. Könnte diese jemand noch etwas ausführen?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2000
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-01
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Allgemein ist das Bild einer direkten Summe $\operatorname{Kern}(A)\oplus U$ unter $A$ das Bild von $U$ allein. Jetzt betrachte $\operatorname{Kern}(A)\oplus\operatorname{Kern}(A)^\perp$ und verwende $\operatorname{Kern}(A)^\perp=\operatorname{Bild}(A^{\rm T})$.
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