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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Zwei Fragen zu Modellen zu ZFC
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Universität/Hochschule Zwei Fragen zu Modellen zu ZFC
schlangenfreund
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-27


Hallo,

Frage 1: Vor drei Tagen habe ich erfahren, daß es abzählbare Modelle von ZFC, also dem bekannten Axiomensystem Zermelo-Fraenkel mit Auswahlaxiom, gibt.  Hab mich immer noch nicht richtig davon erholt.  Wahnsinn.

Jetzt bin ich sehr neugierig geworden.  Leider konnte ich im Internet nicht auf die Schnelle ein solches Modell finden.  Ich hätte eher erwartet daß man keines konstruieren kann (sondern nur indirekt die Existenz beweisen), aber scheinbar wird mit solchen Modellen ganz praktisch gearbeitet.  Also: hat jemand eines parat?  Ich habe schon verstanden, daß es nur ein Nicht-Standardmodell sein kann.  Also keines das die gegebene "ist-Element-von"-Beziehung verwendet.  Kenne schon ein Nicht-Standarmodell: das mit dem man die Nonstandard-Analysis baut (tatsächlich bekommt man ja ne ganze Nicht-Standard Mengenlehre dazu).  Da werden Ultrafilter verwendet, man braucht das Auswahlaxiom. Eine Konstruktion des abzählbaren ZFC-Modells ohne Verwendung des Auswahlaxioms wäre mir am liebsten.  Wenn das denn gehen sollte.

Frage 2: Jetzt bin ich auch neugierig geworden was man sonst so für Modelle bauen kann.  Kann man (in ZFC) ein Modell für ZF bauen in dem das Auswahlaxiom verletzt ist?  Idealerweise wird auch hier das Auswahlaxiom nicht verwendet, denn alles andere wäre nicht ironiefrei, also wenn das nur mit Auswahlaxiom ginge, das wäre einfach nur furchtbar komisch.

Also, ich danke für alle Antworten im Voraus (ich hoffe ich bekomme welche, bin schon ganz gespannt, also bitte nicht zögern).

Beste Grüße, Michael.



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