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 Spur(AB)=Spur(BA) Indizes |
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Student10023
Aktiv 
Dabei seit: 22.11.2020
Mitteilungen: 73
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Hey,
Ich soll zeigen, dass Spur(AB)=Spur(BA) für A,B n*n Matritzen. Ich weiß, dass das irgendwie eine Standartaufgabe ist und auch schon in diesem Forum besprochen wurde, allerdings bin ich mir wegen der ganzen Indizes nicht ganz sicher. Mein Ansatz:
  
Sei A=((a_ij)), B=((b_ij)). Dann gilt A*B= C=((c_ik)) mit c_ik= sum(a_ij * b_jk,j=1,n) Analog ist dann B*A=D=((d_ik) mit d_ik = sum(b_ij * a_jk,j=1,n). Nun Gilt also Spur(AB)=sum(c_ii,i=1,n) = sum(sum(a_ij b_ji,j=1,n),i=1,n) Analog gilt: Spur(BA)=sum(d_ii,i=1,n)=sum(sum(b_ij * a_ji,j=1,n),i=1,n) Nun frage ich mich allerdings warum das wirklich das gleiche sein soll, ich meine b_ij ist nicht gas gleiche wie b_ji im allgemeinen zumindest. Also denke ich, dass ich irgendwo was mit den Indizes falsch gemacht habe.. ich hoffe jemand kann mir helfen
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6526
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-27
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Hallo,
da es hier um eine endliche Summe geht, darf die Summationsreihenfolge verändert werden. Weiter ist der Summand ein Produkt und als solches kommutativ...
Hilft dir das mal als Denkanstoß?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Matrizenrechnung' von Diophant]
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Student10023
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Dabei seit: 22.11.2020
Mitteilungen: 73
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-27
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Hallo Diophant und danke für deine Antwort.
Verstehe ich es also richtig, dass die einzelne Summanden nicht gleich sein müssen (bzw. im allgemeinen nicht sind), aber da i und j beide alle Zahlen von 1 bis n durchlaufen und hier alles kommutiert, kommt jeder Summand insgesamt einmal vor (nur in der jeweiligen Summe an einer anderen Stelle) ?
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Diophant
Senior
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Mitteilungen: 6526
Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
2021-02-27 17:29 - Student10023 in Beitrag No. 2 schreibt:
Verstehe ich es also richtig, dass die einzelne Summanden nicht gleich sein müssen (bzw. im allgemeinen nicht sind), aber da i und j beide alle Zahlen von 1 bis n durchlaufen und hier alles kommutiert, kommt jeder Summand insgesamt einmal vor (nur in der jeweiligen Summe an einer anderen Stelle) ? \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Was heißt "dass die einzelne Summanden nicht gleich sein müssen" bei dir?
Fakt ist: es kommt jeder Summand aus \(\on{Spur}(AB)\) auch in \(\on{Spur}(BA)\) vor. Das gilt es deutlich zu machen. Dazu könntest du bspw. in der Summe von \(\on{Spur}(BA)\) die Indizes vertauschen, das Produkt in die gleiche Reihenfolge bringen wie in \(\on{Spur}(AB)\) und schlussendlich eben die Tatsache nutzen, dass man die Summenzeichen hier vertauschen darf...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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