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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Spur(AB)=Spur(BA) Indizes
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Universität/Hochschule Spur(AB)=Spur(BA) Indizes
Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-27


Hey,

Ich soll zeigen, dass Spur(AB)=Spur(BA) für A,B n*n Matritzen. Ich weiß, dass das irgendwie eine Standartaufgabe ist und auch schon in diesem Forum besprochen wurde, allerdings bin ich mir wegen der ganzen Indizes nicht ganz sicher. Mein Ansatz:

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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-27


Hallo,

da es hier um eine endliche Summe geht, darf die Summationsreihenfolge verändert werden. Weiter ist der Summand ein Produkt und als solches kommutativ...

Hilft dir das mal als Denkanstoß?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Matrizenrechnung' von Diophant]



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Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-27


Hallo Diophant und danke für deine Antwort.

Verstehe ich es also richtig, dass die einzelne Summanden nicht gleich sein müssen (bzw. im allgemeinen nicht sind), aber da i und j beide alle Zahlen von 1 bis n durchlaufen und hier alles kommutiert, kommt jeder Summand insgesamt einmal vor (nur in der jeweiligen Summe an einer anderen Stelle) ?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-02-27 17:29 - Student10023 in Beitrag No. 2 schreibt:
Verstehe ich es also richtig, dass die einzelne Summanden nicht gleich sein müssen (bzw. im allgemeinen nicht sind), aber da i und j beide alle Zahlen von 1 bis n durchlaufen und hier alles kommutiert, kommt jeder Summand insgesamt einmal vor (nur in der jeweiligen Summe an einer anderen Stelle) ?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Was heißt "dass die einzelne Summanden nicht gleich sein müssen" bei dir?

Fakt ist: es kommt jeder Summand aus \(\on{Spur}(AB)\) auch in \(\on{Spur}(BA)\) vor. Das gilt es deutlich zu machen. Dazu könntest du bspw. in der Summe von \(\on{Spur}(BA)\) die Indizes vertauschen, das Produkt in die gleiche Reihenfolge bringen wie in \(\on{Spur}(AB)\) und schlussendlich eben die Tatsache nutzen, dass man die Summenzeichen hier vertauschen darf...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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