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Funktionentheorie » Holomorphie » Wie finde ich alle konformen Abbildungen ?
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Universität/Hochschule Wie finde ich alle konformen Abbildungen ?
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-27


Ich hab hier mehrere Aufgaben vom Typ:

Sei $G\subset \mathbb{C}$. Bestimme alle konformen Abbildungen $f\colon \mathbb{D} \to G$ mit $f(a) = b$. $\mathbb{D}$ ist die offene Kreisscheibe mit Radius 1.

Wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor. Ich weiß was eine konforme Abbildung ist, aber irgendwie fehlt mir die Idee wie ich sowas löse. Ich gehe mal davon aus, dass möglicherweise irgendwo der Riemannsche Abbildungssatz angewendet werden muss.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-27

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Hallo Pter87,

der Riemannsche Abbildungssatz ist hier nur insofern nötig, dass er dir genau klassifiziert, wie $G$ überhaupt aussehen darf. Also wenn $G$ kein nichtleeres, einfach zusammenhängendes Gebiet ist, dann gibt es gar keine solche konforme Abbildung. Ist $G$ jedoch ein nichtleeres, einfach zusammenhängendes Gebiet, so gibt es eine konforme Abbildung $\varphi:\mathbb D\to G$ (die nicht unbedingt $a\mapsto b$ abbildet). Für mehr braucht man den Satz hier nicht.

Sei nun $c:=\varphi^{-1}(b)$. Außerdem sei $\varphi_{ac}$ ein Automorphismus von $\mathbb D$, der $a$ und $c$ vertauscht (darfst du gegebenenfalls selbst bestimmen). Dann ist $\psi:=\varphi\circ\varphi_{ac}$ eine konforme Abbildung $\mathbb D\to G$, die $a\mapsto b$ abbildet.

Sei nun $f:\mathbb D\to G$ eine weitere konforme Abbildung mit $f(a)=b$. Dann ist $\eta:=f^{-1}\circ\psi$ ein Automorphismus von $\mathbb D$, der $a$ fixiert. Eine Klassifizierung solcher Automorphismen könntest du kennen oder dir selbst überlegen. Mit diesen Informationen kannst du dann $f$ isolieren, und hast dann dessen allgemeine Form, wenn du die allgemeine Form von $\eta$ kennst.

Anmerkung: $\varphi$ wirst du im Allgemeinen nicht angeben können, da der Riemannsche Abbildungssatz nicht konstruktiv vorgeht. Wenn $G$ aber schon gegeben ist, dann kannst du dir eventuell einen speziellen solchen Automorphismus aussuchen. Dann brauchst du den Abbildungssatz überhaupt nicht.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28


Hey,

ich glaube bevor ich diese Aufgabe bearbeite, muss ich noch paar Unklarheiten bei mir klären. Es geht mir um die Definition von konformen Abbildungen.

Die erste Defintion, die ich so gelesen habe, ist, dass konforme Abbildungen einfach winkelerhaltende Abbildungen sind. Das wurde folgendermaßen erklärt:

Sei $f\colon G \to \mathbb{C}, G \subset\mathbb{C}$($G$ ein Gebiet) eine Abbildung und $\gamma_1,\gamma_2\colon[0,1]\to G$ zwei Kurven in $G$, welche dort einen Schnittpunkt in $z_0$ haben. Es sei $\gamma_1(t_0)=\gamma_2(t_0)=z_0$. $f$ wird dann konform in $z_0$ genannt, wenn gilt:
\[
\angle(\dot{\gamma_1}(t_0),\dot{\gamma_2}(t_0)) = \angle(f'(z_0)\cdot\dot{\gamma_1}(t_0),f'(z_0)\cdot\dot{\gamma_2}(t_0))
\]
Mit dieser Definition muss ja jede in einem Punkt konforme Abbildung auch dort holomorph sein. Damit gilt: $f$ konform $\Rightarrow f$ holomorph. Insbesondere muss $f'(z)\neq 0,\;\forall z \in G$.

Jetzt hat aber mein Dozent eine für mich nicht so verständliche Definition. Er definiert eine konforme Funktion wie folgt:

Sei $G\subset \mathbb{C}$ ein Gebiet. Für eine schlichte Funktion $f\colon G \to \mathbb{C}$(holomorph und injektiv) wird die bijektive Abbildung $f\colon G \to f(G)$ eine konforme Abbildung von $G$ nach $f(G)$ genannt.

Mit dieser Definition werde ich irgendwie nicht warm. Vielleicht kannst du mir erklären, wie diese Definition in Relation zu der obigen steht.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-28

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Es gibt im Prinzip zwei verschiedene Arten konformer Abbildung, die leider beide konform genannt werden. Ich möchte das hier umgehen, indem ich von "im Kleinen konform" und "im Großen konform" rede (so nennen es beispielsweise auch Busam & Freitag).

Eine Funktion $f:G\to\mathbb C$ ist im Kleinen konform, wenn sie in jedem Punkt winkelerhaltend ist. Eine Funktion ist im Großen konform, wenn sie zusätzlich auch noch bijektiv ist, womit es sich um eine winkeltreue Transformation handelt. Definitionsbereich und Bild einer im Großen konformen Abbildung heißen dann konform äquivalent, das heißt, sie lassen sich so ineinander transformieren, dass dabei alle Winkel erhalten bleiben. Im Kleinen konforme Abbildungen sind also eine Art Homomorphismus, denn sie erhalten einen Teil der Struktur von Gebieten, nämlich die Winkelstruktur (man sagt dazu auch konforme Struktur), so wie Gruppenhomomorphismen die Gruppenstruktur erhalten, und Vektorraumhomomorphismen die Vektorraumstruktur erhalten. Im Großen konforme Abbildungen sind dann die zugehörigen Isomorphismen.

Es stellt sich nun heraus, dass eine Funktion genau dann im Kleinen konform ist, wenn sie holomorph ist und ihre Ableitung nirgends verschwindet. Es stellt sich auch heraus, dass eine holomorphe Funktion genau dann lokal injektiv ist (also in ausreichend kleinen offenen Teilmengen von $G$ injektiv), wenn ihre Ableitung nirgends verschwindet. Also ist eine Funktion genau dann im Kleinen konform, wenn sie holomorph und lokal injektiv ist. Im Großen konform ist sie entsprechend genau dann, wenn sie holomorph und bijektiv ist, und dann sind $G$ und $f(G)$ konform äquivalent.
Dein Dozent erhebt jetzt diese letzte Charakterisierung zur Definition, indem er im Endeffekt sagt, eine Abbildung sei (im Großen) konform, wenn sie holomorph und bijektiv ist.
\(\endgroup\)


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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-01


Super, jetzt verstehe ich die Definition auch.

Ich gehe mal stark davon aus, dass die Umkehrfunktion auch im Großen konform ist oder ? Dann wären im Großen konforme Abbildungen doch insbesondere biholomorphe Abbildungen und das würde auch Wikipedias Form des Riemannschen Abbildungssatzes erklären.

Möbiustransformationen sind doch ebenfalls auf der enstprechenden Teilmenge von $\mathbb{C}$ im Großen konform oder ?




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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-02


Ja, Umkehrfunktionen von im Großen konformen Abbildungen sind ebenfalls im Großen konform (was ja auch wichtig für die Idee ist, dass es sich um Isomorphismen handelt, denn die Inverse eines Isomorphismus sollte selbst auch ein Homomorphismus sein!). Was ja auf den ersten Blick überraschend ist, denn beispielsweise sind Umkehrfunktionen bijektiver, differenzierbarer Funktionen nicht unbedingt differenzierbar. Die Umkehrfunktionen bijektiver, holomorpher Funktionen aber schon. Das hat mit der Eigenschaft zu tun, dass holomorphe Funktionen genau dann lokal injektiv sind, wenn ihre Ableitung nirgends verschwindet. Deswegen lässt sich die globale Version des Satzes von der Umkehrfunktion auf alle im Großen konforme Abbildungen anwenden (und die lokale Version auf alle im Kleinen konforme Abbildungen).

Und auch ganz richtig, im Großen konforme Abbildungen sind genau die biholomorphen Funktionen. Zu denen natürlich auch die Möbiustranformationen zählen.



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