Sei z\el\ \IC fest. Betrachte: f_n : \IN->\IC für n\el\ \IN definiert durch

f_n(k)=1/k^n*(k;n)*z^n.

Zeige, dass sum(f_n,n=0,\inf) als Funktionenreihe absolut konvergiert. Berechne die Grenzfunktion.

Für n>k ist ja (k;n)=0. Also ist sum(1/k^n*(k;n)*z^n,n=k+1,\inf)=0 und daher

sum(1/k^n*(k;n)*z^n,n=0,\inf)=sum(1/k^n*(k;n)*z^n,n=0,k)+sum(1/k^n*(k;n)*z^n,n=k+1,\inf)=sum(1/k^n*(k;n)*z^n,n=0,k)
sum(1/k^n*(k;n)*z^n,n=0,k) ist als endliche Summe für \forall\ k\el\ \IN endlich. Somit hätte man zunächst die punktweise Konvergenz der Funktionenreihe gezeigt.

Da nur endlich viele Summanden ungleich 0 sind und für \forall\ k\el\ \IN,k<=n norm(f_n(k))_\inf existiert, impliziert das ja auch schon die absolute Konvergenz, da

sum(norm(f_n)_\inf,n=0,\inf)=sum(norm(f_n)_\inf,n=0,k)+sum(norm(f_n)_\inf,n=k+1,\inf)=sum(norm(f_n)_\inf,n=0,k)+sum(0,n=k+1,\inf)=sum(norm(f_n)_\inf,n=0,k)<\inf

Ich hoffe meine Überlungen sind bis jetzt schlüssig.

Beim finden der Grenzfunktion war ich noch nicht erfolgreich. Habe die Vermutung, dass das mit dem binomischen Lehrsatz zusammenhängt.

Nach diesem gilt ja:

(z+1)^k=sum((k;n)*z^n,n=0,k)

Kann ich daraus irgendwie auf den Grenzwert von sum(1/k^n*(k;n)*z^n,n=0,k) schließen?