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Mathematik » Geometrie » Konvexe Menge ohne 0 aber 0 im Abschluss
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Universität/Hochschule J Konvexe Menge ohne 0 aber 0 im Abschluss
Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-02


Einen wunderschönen guten Tag!
Ich hätte folgende Aufgabe zu lösen:
Sei \(C\subseteq \mathbb{R}^d\) eine nichtleere, konvexe Teilmenge mit \(0\in C\), aber \(0\notin\overline{C}\), sodass die lineare Hülle \([C]=\mathbb{R}^d\) ist. Sei \(\{e_1,e_2,...,e_d\}\subseteq C\) eine maximale, linear unabhängige Menge. Sei \(z:=-\sum\limits_{i=1}^de_i\).
Zeigen Sie \(\beta z\notin \overline{C}\) für jedes \(\beta > 0\).
Ich habe es mit Widerspruch versucht, indem ich sage, dass so ein \(\beta z\in\overline{C}\) existiert. Da nun \(\beta z \in\overline{C}\) ist, gilt \(\forall U\in\mathfrak{U}(\beta z): U\cap C\neq\emptyset\), wobei \(\mathfrak{U}(\beta z)\) der Umgebungsfilter ist. Also finde ich immer einen Punkt \(x\in U\cap C\), der ziemlich nahe zu \(\beta z\) ist. Nun würde ich einen Punkt y finden, der ziemlich nahe zum Punkt \(-\beta z\) ist und der Punkt "zwischen" y und x liegt, was mein Widerspruch zur Konvexität von C wäre. Da stecke ich jedoch fest, ich weiß nicht, wie ich so einen Punkt finden kann. Ich vermute, dass man so einen geeigneten Punkt aus \(\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_de_d\) mit \(\lambda_1+...+\lambda_d=1\) konstruieren könnte.
Ansonsten hätte ich das Beispiel noch mit Induktion versucht, falls das so nicht funktioniert. Ich freue mich auf jede Rückmeldung!
MfG Axerstein



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02


Hallo,

es soll wahrscheinlich $0\in \overline C$ und $0\notin C$ gelten.

Wenn $e_i\in C$ für alle $i$ ist, so ist auch $\frac 1d \sum_{i=1}^de_i\in C$. Wäre $\beta z\in C$, dann ist auch $0\in C$, denn $0$ ist auf einer Strecke zwischen  $\frac 1d \sum_{i=1}^d=-\frac 1dz$  und $\beta z$. Den Abschluss und die lineare Hülle brauchst du nirgendwo.



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Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02


Vielen Dank für die Antwort!
Bei der Angabe habe ich mich tatsächlich vertan, es sollte \(0\in\overline{C},0\notin C\) stehen, jedoch ist zu zeigen, dass \(\beta z\notin \overline{C}\), also kann ich den Widerspruch nicht mit \(\beta z\in C\) führen.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-02


Na, zumindest weißt du jetzt, dass $\beta z\notin C$. Es bleibt also nur nochc $\beta z\notin \partial C$ zu zeigen.



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Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02


Könnte man eine Folge \(x_n\in C\) mit \(x_n\rightarrow \beta z\) nehmen und den Grenzwert betrachten? Die Strecke zwischen dem Grenzwert von \(x_n\) und \(\frac{1}{d}\sum\limits_{i=1}^de_i\)wäre damit nicht mehr in \(C\), da die 0 dazwischen liegt, was dann der Widerspruch zur Konvexität von \(C\) wäre. Ist das so richtig?



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