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 Zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 429
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Liebe Matheplanetarier
Für folgende Aufgabe fehlt mir ein Beweisteil:
Aufgabe.
Seien $A = \{(0,y) \in \R^2 \mid |y|\leq 1\}$ und $B=\{(x,\sin(1/x)) \in \R^2 \mid 0 < x \leq 1\}$. Zeichne $X:=A \cup B$ und zeige, dass $X$, versehen mit der Spurtopologie des $\R^2$, zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend ist.
Skizze von $X$.
Beweisteile, die ich zeigen konnte.
$A$ ist wegzusammenhängend.
$B$ ist wegzusammenhängend.
$X$ kann nicht wegzusammenhängend sein, da $\lim_{x \to 0^+}\sin(1/x)$ nicht existiert.
Frage.
Wie belege ich, dass $X$ zusammenhängend ist?
LG Phoensie😄\(\endgroup\)
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1294
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi Phoensie,
bin mir nicht sicher, ob das die leichteste Vorangehensweise ist, aber aus dem Bauch heraus würde ich es so machen:
- Sei $X = Y \sqcup Z$ eine Zerlegung.
- Wie sieht die Zerlegung auf $A = X \cap A$ aus?
- Wie sieht die Zerlegung auf $B = X \cap B$ aus?
- Folgere, dass die Zerlegung trivial ist.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11467
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-03
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Hallo,
zeige, daß es keine offene Umgebung um (0,0) gibt, die disjunkt zu B ist. Folgere hieraus, daß es keine offene Umgebung von A geben kann, die disjunkt zu B ist.
Zur Wegzusammenhängigkeit: Etwas ausführlicher, als nur die lim-Aussage sollte der Beweis aber schon sein, er ist eigentlich das etwas anspruchsvollere an dieser Autgabe.
Gruß Wauzi
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Primzahlen sind auch nur Zahlen
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Triceratops
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Mitteilungen: 5578
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-04
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Themenstart: 2021-03-03
