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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Mit gegebenen Lösungen auf eine Lösung allgemeiner Form schließen
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Universität/Hochschule J Mit gegebenen Lösungen auf eine Lösung allgemeiner Form schließen
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, entschuldigt den unverständlichen Titel, aber mir ist nichts eingefallen, welches den Sachverhalt kurz beschreibt.

Mit \((*)\) ist die Gleichung in der zweiten Zeile gemeint.
Hierbei habe ich bereits bei der ersten Frage Probleme.
Es steht ja da, dass \(f(x)\) und \(g(x)\) Lösungen der DGL sind.
Das heißt, es gilt:
\[f'(x)=a(x)\cdot f(x)+b(x)\] \[g'(x)=a(x)\cdot g(x)+b(x)\] Die beiden Terme kann man jetzt voneinander subtrahieren, in der Form:
\[f'(x)-g'(x)=a(x)\cdot \(f(x)-g(x)\)\] Jetzt gehe ich mal davon aus, dass ich es auf beiden Seiten integrieren muss, aber wie genau ich jetzt fortfahren muss, weiß ich nicht.

Könnt ihr mir hierbei weiterhelfen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-03


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Gruß Caban



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

da muss man nicht mehr tun, als etwa

\[h_0(x)=f(x)-g(x)\]
zu substituieren.

Für die zweite Frage sollten wir jetzt noch wissen, was die vorige Aufgabe war...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'DGLen 1. Ordnung' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo,
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-03-03 21:36 - Diophant in Beitrag No. 2 schreibt:
Für die zweite Frage sollten wir jetzt noch wissen, was die vorige Aufgabe war...
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Sorry, mein Fehler:

Noch zur ersten Frage:
Ich subsituiere wie folgt:
\[p(x)=f(x)-g(x)\] Das heißt ich komme auf:
\[p'(x)=a(x)\cdot p(x)\] Das löst man, ich komme auf:
\[p(x)=e^{\int{a(x)\ dx}}\cdot c\] Dann kann ich noch Zurück-Einsetzen mit der Substitution:
\[f(x)=e^{\int{a(x)\ dx}}\cdot c+g(x)\] Ist das jetzt eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung \(y'(x)=a(x)\cdot y(x)\), wie es in der Angabe gefragt ist?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Abgesehen von den anderen Hinweisen hilft es dir vielleicht, dass
\( \D y\to y'-a(x)y\) eine lineare Abbildung ist.

Denke an Lineare Algebra 1 zurück, erinnere dich!

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, vorneweg:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-03 22:39 - Spedex in Beitrag No. 3 schreibt:
Dann kann ich noch Zurück-Einsetzen mit der Substitution:
\[f(x)=e^{\int{a(x)\ dx}}\cdot c+g(x)\]
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Das stimmt soweit, oder?
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)2021-03-03 22:42 - Wally in Beitrag No. 4 schreibt:
Abgesehen von den anderen Hinweisen hilft es dir vielleicht, dass
\( \D y\to y'-a(x)y\) eine lineare Abbildung ist.

Denke an Lineare Algebra 1 zurück, erinnere dich!

Viele Grüße

Wally

\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Nun ja, ich weiß nicht, was wir beide unter Lineare Algebra 1 verstehen, aber ich denke, dass ich das noch nicht hatte.
Was ich allerdings weiß, die Lösung der DGL \(\ds y'(x)=a(x)\cdot y(x)\) ist folgende:
\[y(x)=e^{\int{a(x)\ dx}}\cdot c\] Und die Lösung von meiner DGL ist ja:
\[p(x)=f(x)-g(x)=e^{\int{a(x)\ dx}}\cdot c\] Sprich die beiden Lösungen sind die gleichen.
Also wäre damit der erste Punkt, die erste Frage, schon abgehakt, nicht?

Wenn wir das geklärt haben, gehen wir zur zweiten Frage über.

Liebe Grüße
Spedex

\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

Lineare Algebra hattest du wohl tatsächlich noch nicht, wenn man deine bisherigen Fragen hier zugrunde legt. Das Fachgebiet beschäftigt sich (sehr stark vereinfacht gesagt) mit linearen Gleichunssystemen, der Matrizenmultiplikation, Determinanten sowie den sog. Linearen Abbildungen. Wally hat aus gutem Grund erwartet, dass man da schon Kenntnisse hat, wenn man sich mit Differentialgleichungen beschäftigt. Heutige Stoffpläne an den Hochschulen (aber auch an den Schulen) sind eben ein Kapitel für sich...

Nun zu deiner Frage: deine Argumentation, \(g(x)\) auf die rechte Seite zu bringen, ist korrekt. Aber dazu braucht es eben streng genommen die Erkenntnis aus dieser vorigen Aufgabe, auf die da verwiesen wird. Von daher meine Rückfrage.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04


Hallo,
ein Bild der vorherigen Aufgabe habe ich doch schon gepostet, oder verstehe ich da jetzt was falsch?

Liebe Grüße
Spedex



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-04


2021-03-04 10:21 - Spedex in Beitrag No. 7 schreibt:
ein Bild der vorherigen Aufgabe habe ich doch schon gepostet, oder verstehe ich da jetzt was falsch?

Nein, ist alles gut. Ich hatte nur nochmal erläutert, warum ich nach dieser anderen Aufgabe gefragt hatte. 🙂


Gruß, Diophant



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, ich verstehe nicht ganz, habe ich jetzt den ersten Punkt abgeschlossen oder nicht?
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-03-04 10:03 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Nun zu deiner Frage: deine Argumentation, \(g(x)\) auf die rechte Seite zu bringen, ist korrekt. Aber dazu braucht es eben streng genommen die Erkenntnis aus dieser vorigen Aufgabe, auf die da verwiesen wird. Von daher meine Rückfrage.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Bezieht sich das auf die erste oder auf die zweite Frage der Angabe?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 11:01 - Spedex in Beitrag No. 9 schreibt:
Hm, ich verstehe nicht ganz, habe ich jetzt den ersten Punkt abgeschlossen oder nicht?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Du hast in Beitrag #3 streng genommen beide Aufgabenteile schon gelöst (du siehst es offensichtlich nur noch nicht...).

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 11:01 - Spedex in Beitrag No. 9 schreibt:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-03-04 10:03 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Nun zu deiner Frage: deine Argumentation, \(g(x)\) auf die rechte Seite zu bringen, ist korrekt. Aber dazu braucht es eben streng genommen die Erkenntnis aus dieser vorigen Aufgabe, auf die da verwiesen wird. Von daher meine Rückfrage.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Bezieht sich das auf die erste oder auf die zweite Frage der Angabe?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Natürlich auf die zweite.

Fassen wir nochmal zusammen:

- \(f(x)\) und \(g(x)\) sind allgemeine Lösungen der DGL nach Voraussetzung.

- es wurde gezeigt, dass \(f(x)-g(x)\) die zugehörige homogene DGL löst.

- Die Lösung sieht dabei so aus: \(f(x)-g(x)=c\cdot e^{A(x)}\ \Leftrightarrow\ f(x)=c\cdot e^{A(x)}+g(x)\).

Nun ist aber \(f(x)\) wie gesagt nach Voraussetzung allgemeine Lösung der DGL, ebenso \(g(x)\). Und zwar sind das beliebige Lösungen. Also besitzt jede allgemeine Lösung der DGL offensichtlich die obige Gestalt, und mehr war nicht zu zeigen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04


Ok, super, habe verstanden, danke vielmals.

Liebe Grüße
Spedex



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Ok, ich würde gerne eine weitere Aufgabe hier hinten dran hängen.
Ich weiß, es wäre eigentlich besser, man erstellt einen neuen Beitrag, aber die Aufgaben sind ein wenig aufeinander aufbauend.
Die Aufgabenstellung:

Was dieses \((*)\) bedeutet sieht man ja im Themenstart.
Es geht erstmal um die erste Frage, die in der ersten Zeile.
Ich glaube, man benötigt hier die Variation der Konstanten, nach Lagrange, aber da kann ich mich nur recht schlecht aus.
Ich denke, man leitet zuerst ab, da kommt man auf:
\[h'(x)=c'(x)\cdot e^{A(x)}+c(x)\cdot e^{A(x)}\cdot a(x)\] Durch Anwendung der Produktregel und der Kettenregel.

Aber was nun, das weiß ich nicht...
Ich möchte ja nur eine Lösung finden, aber ich sehe keine Ähnlichkeit zwischen:
\[h'(x)=c'(x)\cdot e^{A(x)}+c(x)\cdot e^{A(x)}\cdot a(x)\text{ und }y'(x)=a(x)\cdot y(x)+b(x)\]
Könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

das ist völlig richtig überlegt. Setze nun \(h'\) für \(y'\) sowie \(h\) für \(y\) in die DGL ein und vereinfache. Du solltest eine Bestimmungsgleichung für \(c'\) erhalten, mit der du dann die variierte Konstante \(c(x)\) berechnen kannst.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, danke für die Anerkennung, war aber leider nicht mein Gedanke, stand so im Skriptum, bzw. so ähnlich.
Ich bin mir nicht sicher, welche DGL du meinst, in welcher ich die Variablen ersetzen soll, ich gehe allerdings davon aus, dass du diese meinst:
\[y'(x)=a(x)\cdot y(x)+b(x)\] Sprich ersetzt mit \(h(x)\) und \(h'(x)\) ergibt sich:
\[h'(x)=a(x)\cdot h(x)+b(x)\] Also gilt:
\[a(x)\cdot h(x)+b(x)=c'(x)\cdot e^{A(x)}+c(x)\cdot e^{A(x)}\cdot a(x)\] Ich denke mal, man kann das dann so sehen:
\[c'(x)\cdot e^{A(x)}=a(x)\cdot h(x)\] \[c(x)\cdot e^{A(x)}\cdot a(x)=b(x)\]
Liege ich da so weit richtig?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

nein, das ist nun irgendwie ganz danebengegangen.

Also, wir haben:

\[y'=a(x)y(x)+b(x)\]
mit der Lösung der zugehörigen homogenen DGL

\[h(x)=c\cdot e^{A(x)}\]
Nun wird die Konstante als Funktion von x betrachtet, also 'variiert'. Ableiten ergibt dann:

\[h'(x)=c'(x)\cdot e^{A(x)}+c(x)\cdot a(x)\cdot e^{A(x)}\]
Wenn man nun mit \(h'(x)\) und \(h(x)\) in die DGL eingeht, dann sieht das so aus:

\[c'(x)\cdot e^{A(x)}+c(x)\cdot a(x)\cdot e^{A(x)}=c(x)\cdot a(x)\cdot e^{A(x)}+b(x)\]
Es bleibt also die Gleichung

\[c'(x)\cdot e^{A(x)}=b(x)\]
übrig, die man nach \(c'(x)\) auflöst und nach x integriert.


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, ich habe mir die Schritte nochmal angeschaut und nachvollzogen.
Ich stelle jetzt auf \(c'(x)\) um, komme also auf:
\[c'(x)=\frac{b(x)}{e^{A(x)}}\] Und möchte aber \(c(x)\) anstelle von \(c'(x)\), also integriere ich:
\[c(x)=\int{\frac{b(x)}{e^{A(x)}}\ dx}\] Muss man da jetzt noch weitermachen, oder ist das schon die finale Lösung für \(c(x)\).
Gilt dann also:
\[h(x)=e^{A(x)}\cdot \int{\frac{b(x)}{e^{A(x)}}\ dx}\]?

Habe ich damit eine Lösung gefunden?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

Man kann es noch ein bisschen einfacher schreiben:

\[c(x)=\int{\frac{b(x)}{e^{A(x)}} \on{dx}}=\int{b(x)\cdot e^{-A(x)} \on{dx}}\]
Und \(h(x)\) dann entsprechend.


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, ich habe doch gar nicht integriert.
EDIT: Wurde im Beitrag darüber wieder entfernt.
Das war der Ansatz \(h(x)=c(x)\cdot e^{A(x)}\) und da habe ich für \(c(x)\) eingesetzt. Vermutlich komplett sinnlos.
Auf jeden Fall habe ich jetzt eine Definition für \(c(x)\), aber bin ich damit schon fertig, bezogen auf die erste Frage?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 16:45 - Spedex in Beitrag No. 18 schreibt:
Hm, ich habe doch gar nicht integriert.
EDIT: Wie gewonnen, so zerronnen. Steht im Beitrag darüber nicht mehr da.
Das war der Ansatz \(h(x)=c(x)\cdot e^{A(x)}\) und da habe ich für \(c(x)\) eingesetzt. Vermutlich komplett sinnlos.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Nein, du bist einfach zu schnell für mich heute...

Ich hatte mich verlesen, dann aber meinen Beitrag sofort abgeändert, nachdem ich das gesehen hatte.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 16:45 - Spedex in Beitrag No. 18 schreibt:
Auf jeden Fall habe ich jetzt eine Definition für \(c(x)\), aber bin ich damit schon fertig, bezogen auf die erste Frage?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ja und ja. denn mehr kannst du an der Stelle, ohne konkrete Funktionen \(a(x)\), \(b(x)\) nicht tun.

Es ist also insbesondere alles richtig. 👍


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, super.
Aber ist die Lösung dann wirklich nur:
\[y(x)=e^{A(x)}\cdot \int{\frac{b(x)}{e^{A(x)}}\ dx}\] Und warum heißt es dann *eine* Lösung?
Bei den anderen ist kommt noch etwas hinten dran addiert, oder?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 17:31 - Spedex in Beitrag No. 20 schreibt:
Aber ist die Lösung dann wirklich nur:
\[y(x)=e^{A(x)}\cdot \int{\frac{b(x)}{e^{A(x)}}\ dx}\] Und warum heißt es dann *eine* Lösung?
Bei den anderen ist kommt noch etwas hinten dran addiert, oder?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Deine Aufgaben sind ja desöfteren etwas verwirrend formuliert. Streng genommen enthält die Lösung mit dem Integral nämlich alle Lösungen, denn da muss man ja noch integrieren, wodurch dann (wie bei jeder DGL 1. Ordnung) eben wieder eine Integrationskonstante ins Spiel kommt. So lange man aber dieses Integral dastehen hat, kann man das auch als eine Lösung bezeichnen. Ich halte das aber wie gesagt für ziemlich verunglückt.

Bei dem konkreten Beispiel sind ja die Funktionen \(a(x)=\frac{1}{x}\) und \(b(x)=x\) so gewählt, dass man analytisch integrieren kann (und das auch noch total simpel...). Und dann musst du wie gesagt an geeigneter Stelle eine Integrationskonstante einführen, so dass du für den konkreten Fall dann eben alle Lösungen dastehen hast.


Gruß, Diophant
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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, ja, es war so:
Bevor ich die Frage gestellt hatte, hatte ich diese angewandte DGL bereits gelöst, ich kam allerdings auf die Lösung \(y(x)=x^2\).
Aber wenn man sich überlegt, wie sich was kürzt und wie sich die Terme nach dem Ableiten verhalten, findet man eine allgemeine Lösung, nämlich:
\[y(x)=x^2+x\cdot c\] Ein "automatisiertes" Verfahren um das zu finden gibt es nicht, oder? Man muss sich überlegen wie sich was kürzt und was man dran hängen darf an die einfachste Lösung.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2021-03-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 18:18 - Spedex in Beitrag No. 22 schreibt:
Hallo, ja, es war so:
Bevor ich die Frage gestellt hatte, hatte ich diese angewandte DGL bereits gelöst, ich kam allerdings auf die Lösung \(y(x)=x^2\).
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ja, das ist einfach eine spezielle Lösung der DGL für \(c=0\).

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 18:18 - Spedex in Beitrag No. 22 schreibt:
Aber wenn man sich überlegt, wie sich was kürzt und wie sich die Terme nach dem Ableiten verhalten, findet man eine allgemeine Lösung, nämlich:
\[y(x)=x^2+x\cdot c\]
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ja, die ist richtig. 👍

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 18:18 - Spedex in Beitrag No. 22 schreibt:
Ein "automatisiertes" Verfahren um das zu finden gibt es nicht, oder? Man muss sich überlegen wie sich was kürzt und was man dran hängen darf an die einfachste Lösung.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ich weiß jetzt nicht genau, wie du das meinst. Die Variation der Konstanten ist ja schon ein recht 'automatisiertes Verfahren', wenn du so willst. Jedoch: sie funktioniert durchaus nicht immer (sondern eben nur für den hier behandelten Typ von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung). Und selbst wenn: dann ist es noch lange nicht gesagt, dass man das Integral zur Bestimmung von \(c(x)\) analytisch darstellen kann.


Gruß, Diophant
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Nein, ich meinte, gibt es ein "automatisiertes" Verfahren um von *einer* Lösung auf eine allgemeine Lösung zu kommen?
Also wie hier zum Beispiel von \(y(x)=x^2\) auf \(y(x)=x^2+x\cdot c\)

Liebe Grüße
Spedex
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Hallo,

nein, das gibt es sicherlich nicht. Denn wie du hier schön sehen kannst, sagt so eine spezielle Lösung oftmals wenig bis gar nichts über die Struktur der allgemeinen Lösung aus.


Gruß, Diophant



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Passt, gut.

Vielen herzlichen Dank für die Hilfe!

Liebe Grüße
Spedex



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