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 Basis von Vektorraum bestimmen |
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ghxk
Junior 
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 13
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Hallo
Wie kann ich aus diesem Vektorraum eine Basis bilden (s. Bild)?
Ich weiss, dass wenn z.B. ein Unterraum von (R3) gegeben ist in der Form z.B. 2x1+3x2+x3 = 0, dann kann man 3 Vektoren wählen/bestimmen, die diese Bedingung erfüllen und anschliessend zeigen, dass diese linear unabhängig sind.
Wie kann ich das nun aber bei einem allgemeinen Vektorraum, indem keine "=" gegeben ist (s. Bild)?
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2705
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
der Vektorraum ist $V=\IR^2$. Eine Basis davon zu finden sollte kein Problem darstellen.
Wie lautet die Aufgabenstellung im Original?\(\endgroup\)
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ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08
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Hallo Nuramon
Vielen Dank für Deine ANTWORT, Habe eben auch gemerkt, dass dies ja einfach ist.
Die Originalaufgabe war es, eine Orthonormalbasis des oben abgebildeten euklidischen Raums zu finden (mithilfe von Gram-Schmidt).
Dies habe ich nun gekonnt.
Dieselbe Aufgabe bereitet mir allerdings für den Vektorraum V = Menge aller reellen nxn Matrizen Schwierigkeiten.
Das innere Produkt ist in diesem Fall wie folgt definiert:
<A,B> = Spur(A^t*B) (A^t solle A transponiert bedeuten)
Ich denke, die Menge aller nxn Matrizen mit einer 1 an der Stelle (i,j) bildet eine Orthonormalbasis von V. Wie kann ich nun zeigen, dass diese Orthonormal zueinander stehen?
LG
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 429
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Lieber ghxk
Auf deinem Vektorraum $\operatorname{Mat}(n;\R)$ induziert das innere Produkt eine Norm $\|\cdot\| : \operatorname{Mat}(n;\R) \to \R_+$ mittels
\[
\|A\| := \sqrt{\langle A,A \rangle} = \sqrt{\operatorname{Spur}(A^TA)}
\]
Verifiziere gegebenfalls, dass die Normaxiome (positive Definitheit, Symmetrie, Subadditivität) erfüllt sind. Hierzu ist es lehrreich, folgende Behauptungen nachzuvollziehen:
- Für alle $A \in \operatorname{Mat}(n;\R)$ die Matrix $A^TA$ positiv definit und symmetrisch.
- Spektralsatz: Reelle symmetrische Matrizen sind orthogonal diagonalisierbar.
- Eigenwerte von positiv definiten Matrizen sind positiv.
- Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom (ergo gleiche Determinante und gleiche Spur).
Nun zurück zur Aufgabe.
- Um Orthogonalität zu prüfen, kannst du dein zur Verfügung stehendes Skalarprodukt verwenden. Sind $E_i,E_j$ Basiselemente einer Orthonormalbasis, dann sollen sie also $\langle E_i,E_j \rangle = 0$ erfüllen.
- Deine Basismatrizen $E_i$ haben genau dann "Länge" 1, wenn $\|E_i\|=1$ ist.
LG Phoensie\(\endgroup\)
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