Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Variation der Konstanten (DGL 2. Ordnung)
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Variation der Konstanten (DGL 2. Ordnung)
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 31
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-05


Hey Leute,

Ich habe eine Frage zur Variation der Konstanten bei DGL 2. Ordnung. Für die Fundamentallösungen \(y_1\) und \(y_2\) gilt ja nach Superpositionsprinzip und Variation der Konstanten, dass eine spezielle Lösung die Form \(y_{\text{p}}=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)\) hat.

Nach dem einmaligen Ableiten wird jetzt allerdings der Term \(c_1'(x)y_1(x)+c_2'(x)y_2(x)\) gleich Null gesetzt. Könnt ihr mir die Theorie dazu erklären, warum das gilt? Ich verstehe den Hintergrund nicht.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9189
Wohnort: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-05


Hallo, guck mal hier.

Da hab ich was dazu gehcrieben.

Viele Grüße

Wally



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 31
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06


Hey Wally, danke für die Verlinkung. Folgt diese "Zusatzbedingung" also direkt aus dem Ansatz:

\(\vec{y}^\text{p} = Y\cdot\vec{c}(x) = \begin{pmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}c_1(x)\\c_2(x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1c_1(x)+y_2c_2(x)\\y_1'c_1(x)+y_2'c_2(x)\end{pmatrix},\) wobei

\(\vec{y}^\text{p}=\begin{pmatrix}y_1^{\text{p}}\\y_2^{\text{p}}\end{pmatrix}\) mit \([y_1^\text{p}]'=y_2^\text{p}?\)

Und falls ja, woher kommt noch mal der Ansatz \(\vec{y}^\text{p}=Y\cdot\vec{c}?\) Mir war nur die erste Komponente dieses Matrix-Vektor Produkts bewusst. Die zweite hätte ich aus dieser "geheimnisvollen Zusatzbedingung" geschlussfolgert. In einer anderen Quelle (die ich leider grad nicht mehr finde) wird gesagt, dass diese "Zusatzbedingung" die Existenz der zweiten Ableitung sichert. Kannst du dazu was sagen?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9189
Wohnort: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-06


Die "Variation-der-Konstanten-Methode" lässt sich direkt auf lineare Systeme erster Ordnung übertragen, mann muss nur statt des Kehrwerts die inverse Matrix benutzen.

Viele Grüße

Wally



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 31
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07


Tut mir Leid, aber das reicht mir nicht als Begründung. Das sagt zwar die Intuition, aber es ist noch keine mathematische Brgründung. Und ich weiß daher immer noch nicht, warum die Bedingung \(c_1'(x)y_1(x)+c_2'(x)y_2(x)=0\) ist oder warum die Bedingung sichert, dass die Funktion 2 mal differenzierbar ist.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9189
Wohnort: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Dann schreib mal \( y''+a(x)y'+b(x) y=d(x)\) mit Hilfe von \( \vec{z}=\begin{pmatrix}y\\y' \end{pmatrix}\) auf ein System \( \vec{z}=A(x)\vec{z}+\begin{pmatrix}0\\d(x) \end{pmatrix}\) um.

Bedenke, dass die Fundamentalmatrix \( Y\) die (homogene) Matrix-Differentialgleichung \( Y'=AY\) löst, mache den Ansatz für die partikuläre Lösung und schreibe das dann komponentenweise auf.

Der Zusammenhang mit der Existenz der zweiten Ableitung ist Unsinn. Schon wenn du \( y''\) im Ausgangsproblem hinschreibst, setzt du das doch schon voraus.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 31
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07


Ich denke dann hab ich es. Aus \(y''+a(x)y'+b(x)y=d(x)\) folgt mit \(\vec{z}=(y,y')^\top\) das lineare DGL System
\[\vec{z}'=\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\-b&-a\end{pmatrix}}_{A(x)}\vec{z}+\begin{pmatrix}0\\d\end{pmatrix}.\] Dass \(\vec{z}_h=Y\vec{c}\) das homogene System löst, kann durch Einsetzen überprüft werden, woraus auch gleich \(Y'=AY\) folgt. Nach dem der Ansatz aus Variation der Konstanten \(\vec{z}_p=Y\vec{c}=\begin{pmatrix}y_1c_1(x)+y_2c_2(x)\\y_1'c_1(x)+y_2'c_2(x)\end{pmatrix}\) in das System eingesetzt wurde, folgt nicht nur die Antwort auf meine Frage, sondern auch gleich das LGS für den Vektor \(\vec{c}'\).

Das sollte die Lösung sein, oder? Allerdings fühlt es sich richtig seltsam an. In meinem Skript und auch allen anderen scheint es wie eine mystische Bedingung zu sein, die aus dem Nichts kommt. Außerdem taucht auch der Zusammenhang \(Y'=AY\) ganz plötzlich auf und jetzt ist es einfach Folgerung, die während der Herleitung einfach so nebenbei abfällt. Ich bin mir grad super unsicher, was der "rote Faden" bei der Herleitung ist. Kannst du mir da noch mal kurz Klarheit verschaffen? Auf jeden Fall bedanke ich mich schon jetzt für deine Hilfe und dein Verständnis!

EDIT: Dass \(\vec{z}_h=Y\vec{c}\) die Lösung des homogenen Systems ist, krieg ich zwar durch Einsetzen raus. Wie kommt man allerdings rechnerisch darauf?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9189
Wohnort: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Die Spalten von \( Y\) sind  doch umgeschriebene Lösungen der skalaren Dgl.
\( Y'\) hat in des Spalten die Ableitung und \( AY\) in den Spalten die Produkte von \( A\) mit den Spalten von \( Y\).

\( Y\vec{c}\) ist einfach eine Linearkombination.

Warum das alles nicht in Büchern steht, weiß ich nicht, es ist aber nichts Geheimnisvolles dabei.

Eigentlich ist das die Standardmethode: wenn ich für eine Dgl. höherer Ordnung was zeigen will (Eindeutigkeit, Lösbarkeit, Abhängigkeit der Lösung von Parametern..), dann schreibe ich sie in ein System 1. Ordnung um, wo alles analog zum skalaren Fall geht. Ausnahme sind Sturm-Liouville-Probleme.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 31
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07


Oh man Wally, ich glaub ich habs! Ja natürlich, \(Y\vec{c}\) ist nur eine Linearkombination der Lösungen \(z_i=\begin{pmatrix}y_i\\y_i'\end{pmatrix}\). Das heißt also \(\vec{z}_h=Y\vec{c}\) ist die direkte Folgerung aus dem Superpositionsprinzip!
Darf ich dann auch sagen, dass sowohl \(\left\{y_1,y_2\right\}\) ein Fundamentalsystem bilden, als auch \(\left\{\vec{z}_1,\vec{z}_2\right\}\)? Ansonsten möchte ich mich schon jetzt noch mal herzlich für deine Ausführungen bedanken!!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9189
Wohnort: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ja, genau, wenn \( y\) und \( \vec{z}\) durch \( \vec{z}=\begin{pmatrix} y\\y'\end{pmatrix}\) gekoppelt sind, ist \( y_1,y_2\) genau dann ein Fundamentalsystem der Dgl. 2. Ordung, wenn \( \vec{z}_1, \vec{z}_2\) eines des Systems ist.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MasterWizz hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]