1.Ist f eine ganze Funktion, die auf der reellen Achse beschränkt ist, so ist  f konstant.

oder auch eine ähnliche Variante:

2.Sei f eine ganze Funktion mit f(z)=0 für alle z in \IC mit Re(z)=0. Dann ist f konstant.

Auch noch ein paar von einem anderen Schlag:

3.Es gibt eine holomorphe Funktion f:\IC->\IC mit f(z)!=1 für alle z \el\ \IC

oder auch ähnlich

4.Es gibt eine Funktion f:\IC->\IC, die in genau einem Punkt komplex differenzierbar ist.

Also bei den beiden ersten Aussagen muss man denke ich irgendwie dazu kommen, dass Liouville Theorem anzuwenden. Ich wüsste leider nicht wie, vielleicht mit irgendeiner Funktion verbinden die dann beschränkt sein wird ? 

Die 3. Aussage müsste wahr aufgrund des kleinen Satzes von Picard sein, den wir zwar mal erwähnt haben, aber nicht bewiesen haben. Also hier stellt sich die Frage wie man solch eine Funktion selber wählt.

Zur 4 kann ich nur sagen, dass eine solche Aussage im reellen ja möglich ist, aber ich habe schon oft den Fehler gemacht komplexe Probleme auf dass reelle übertragen zu wollen und irgendwas ging oft schief.

Ich kann e^f betrachten und wenn ich jetzt f=x+i*y schreibe dann gilt

e^(x+i*y)=e^x*cos(y)+i*e^x*sin(y)

jetzt entspricht e^x ja meinem Betrag der Komplexen Zahl und dieser Betrag ist beschränkt. Da x beschränkt ist oder mache ich etwas falsch ?
Jetzt weiter: 

Da e^f offensichtlich eine ganze Funktion ist und auch beschränkt ist muss sie konstant sein, wegen des Liouville Theorems.

Aber wenn e^f konstant ist dann muss auch f konstant sein. Damit wäre die Aussage wahr.

Zur 2 Ich sage mal du hast mir 90 % der Abeit mit dem Wort Identitätstheorem abgenommen ;) ( Ist keine Kritik an dir nur an mir selber ;) )

f ist auf der imaginären Achse Dann gilt f(i*y)=0 für alle y\el\ \IR. Aber es gibt ja wie schon bekannt eine Funktion g(z)=0 für alle z\el\ \IC. 

Damit gilt f(i*y)=g(i*y) und damit nach Identitätstheorem f=g und damit ist f konstant

3. Also ich weiß nicht so recht was du mit deinem Tipp meinst, aber ich hatte dann auch eine andere Idee Ich könnte doch eine beliebige konstante Funktion ungleich 1 nehmen. Diese sind doch holomorph und ich wäre fertig ?

4. Also mit deinem Tipp denke ich, man könnte z.B 

f(x+i*y)= x+i*y^2 nehmen

Dann gilt nach der Cauchy-Riemannischen Differentialgleichung

1=2*y und 0=0. Damit wäre f nur in i*1/2 differenzierbar. 

Sind diese Begründungen alle richtig ?

f(x+i*y)=x*y+i*x*y
 müsste gehen, diese wäre nur für x=y=0 differenzierbar