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Universität/Hochschule Vektorräume in Kombination mit Funktionen
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Ich kann euch versichern, ich habe mir die Aufgabenstellung sicherlich schon fünf mal durchgelesen und ich habe immer noch überhaupt keine Ahnung, wie ich vorgehen muss.
Zu a)
Ich möchte ja irgendwie wieder zwei Sachen addieren und eine Sache mit einem Faktor multiplizieren.
Die Frage ist nur, was ich da addieren soll...
Soll hier das \(f(x)\) \(-f(x)\) sein und das \(g(x)\) soll dann \(f(-x)\) sein? Und das addiere ich dann:
\[-f(x)+f(-x)\]
Nein, das denke ich nicht...

Könnt ihr mir hier weiterhelfen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06


Hallo,

du nimmst dir zwei Funktionen $f,g$, die beide ungerade sind, also es soll $f(-x)=-f(x)$ und $g(-x)=-g(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ gelten. Was gilt dann für $f+g$?



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo,
also gilt:
\[f(x)=-f(-x)\] \[g(x)=-g(-x)\] Überprüfung Kriterium Addition:
\[f(x)+g(x)=-f(-x)-g(-x)\] \[(f+g)(x)=-(f+g)(-x)\]
Sprich die resultierende Funktion mittels Addition bleibt ungerade, ein Kriterium für den Vektorraum ist also erfüllt.

Überprüfung Kriterium Multiplikation:
\[a\cdot f(x)=-a\cdot f(-x)\] \[(a\cdot f)(x)=-(a\cdot f)(-x)\]
Es bleibt also auch hier eine ungerade Funktion.

Ist das so richtig?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-06


Ja, das ist richtig :)



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sarose
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-06


Du kennst ja sicher die Bedingungen dafür, dass ein Vektorraum vorliegt. Du musst nun mit Hilfe deiner Funktionen alle Bedingungen überprüfen. Sind alle erfüllt, dann handelt es sich um einen Vektorraum. Ist nur eine Bedingung nicht erfüllt, handelt es sich nicht um einen Vektorraum.



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, sehr gut.
Zu b)
Das wäre ich wie folgt angegangen:
Sei eine Funktion gegeben in folgender Art:
\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\] Mit:
\[a,b,c,d\in \mathbb{R}\] Und eine weitere Funktion:
\[g(x)=lx^3+mx^2+nx+o\] Mit:
\[l,m,n,o\in\mathbb{R}\]
Überprüfung Kriterium Addition:
\[f(x)+g(x)=ax^3+lx^3+bx^2+mx^2+cx+nx+d+o\] \[(f+g)(x)=(a+l)x^3+(b+m)x^2+(c+n)x+(d+o)\] Da ja \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\) und \(l,m,n,o\in\mathbb{R}\) ist auch die Summe dieser Konstanten eine reelle Zahl.
Bleibt also eine Polynomfunktion dritten Grades.

Überprüfung Kriterium Multiplikation:
\[\lambda\cdot f(x)=(\lambda\cdot f)(x)=\lambda ax^3+\lambda bx^2+\lambda cx+\lambda d\] Da \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\) und \(\lambda \in \mathbb{R}\) ist auch das Produkt eine reelle Zahl.
Es bleibt also eine Polynomfunktion dritten Grades.

Denkt ihr das ist so ausreichend?
Und lässt sich diese Vorgang nicht 1 zu 1 für die c) übernehmen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-06


Hallo Spedex,

ganz kurz zur b): ist dort der Nullvektor enthalten? ...


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, was heißt denn in diesem Kontext "Nullvektor", heißt das \(a=b=c=d=0\)?

Auf jeden Fall fällt mir aufgrund deines Kommentars auf, dass wenn \(a=0\), ist es keine Polynomfunktion dritten Grades, und daher auch kein Vektorraum.

Und bei der c) ist es eben vermutlich schon so, denn da ist es "höchstens" und nicht "genau", stimmt das?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-06 10:54 - Spedex in Beitrag No. 7 schreibt:
Hm, was heißt denn in diesem Kontext "Nullvektor", heißt das \(a=b=c=d=0\)?

Auf jeden Fall fällt mir aufgrund deines Kommentars auf, dass wenn \(a=0\), ist es keine Polynomfunktion dritten Grades, und daher auch kein Vektorraum.

Und bei der c) ist es eben vermutlich schon so, denn da ist es "höchstens" und nicht "genau", stimmt das?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das stimmt im Prinzip. Wie habt ihr denn genau den Begriff des Vektorraums definiert?

In Kurzform müssen die Elemente eines Vektorraums zusammen mit der in diesem Raum definierten Addition eine Gruppe bilden. Das erfordert u.a. die Existenz eines neutralen Elements, und das ist eben der Nullvektor.

Bei c) hast du den Nullvektor mit enthalten und außerdem gibt es damit zu jedem Elenent auch ein inverses Element.

Also ja: b) ist kein Vektorraum, c) ist einer.

Versuche auf jeden Fall, das mit Hilfe der von euch verwendeten Definition zu begründen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, diese Definition die wir da verwenden sollen und du suchst, gibt es glaube ich nicht. Es steht halt diese Definition da, siehe Aufgabenstellung und bei dem Beispiel was ich gestern gepostet hatte, steht auch eine ähnliche Definition.

Zu d)
\[f'(1)+g'(1)=0+0=0\] \[a\cdot f'(1)=a\cdot 0=0\] Vektorraum.

Zu e)
\[f'(0)+g'(0)=1+1=2\neq 1\] \[a\cdot f'(0)=a\cdot 1=a\] Kein Vektorraum.

Stimmt das?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-06


Hallo Spedex,

deine Antworten zu d) und e) stimmen.

Jedoch:
2021-03-06 11:38 - Spedex in Beitrag No. 9 schreibt:
Hm, diese Definition die wir da verwenden sollen und du suchst, gibt es glaube ich nicht. Es steht halt diese Definition da, siehe Aufgabenstellung und bei dem Beispiel was ich gestern gepostet hatte, steht auch eine ähnliche Definition.

Eine Definition, was ein Vektorraum ist, hast du bisher nicht gepostet. Irgendetwas zu dem Thema solltest du doch in deinen Unterlagen haben?

In der anderen Aufgabe hast du sog. Unter(vektor)raumkriterien drin gehabt, das ist aber nicht das gleiche.

Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur mit ganz bestimmten Axiomen. Da dir laut deiner Aussage der Begriff der Gruppe noch nichts sagt, war nun meine Vermutung, dass diese Axiome bei euch irgendwie anders, ohne Verwendung der üblichen Begriffe aus der Algbebra formuliert wurden. Daher meine Rückfage.


Gruß, Diophant



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06


Hallo, im Skriptum habe ich das gefunden:

Diese Grundeigenschaften sind:

Also im Grunde ja schon ein wenig diese Kriterien, die ich im Kopf hatte: Addition mit einem ähnlichen Typen und Multiplikation mit einem Faktor, oder verstehe ich das falsch?

Liebe Grüße
Spedex



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-03-06


Hallo Spedex,

das sind (wie vermutet) die Vektorraumaxiome, so wie sie auf der weiter oben verlinkten Wikipediaseite stehen, aber in einer sehr 'pragmatischen' Art und Weise formuliert.

2021-03-06 13:27 - Spedex in Beitrag No. 11 schreibt:
Also im Grunde ja schon ein wenig diese Kriterien, die ich im Kopf hatte: Addition mit einem ähnlichen Typen und Multiplikation mit einem Faktor, oder verstehe ich das falsch?

Es sind schon noch ein paar mehr. Ich denke aber, dass deine Vorgehensweise im Rahmen dieser Aufgaben so in Ordnung ist. Du solltest eben nur im Hinterkopf behalten, was da so alles gelten muss. Dann sieht man mit der Zeit auch schneller, ob eine gegebene Menge als Vektorraum aufgefasst werden kann oder nicht.


Gruß, Diophant



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06


Gut.

Vielen Dank für die Hilfe!

Liebe Grüße
Spedex



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Im Themenstart steht schon, dass man benutzen darf, dass die Menge aller Funktionen von \( \IR\) nach \( \IR\) ein Vektorraum ist.

Man muss also wieder nur prüfen, ob die gegebenen Mengen einen Untervektorraum bilden.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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