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Strukturen und Algebra » Ringe » Einheitengruppe vom speziellen Ring A_d
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Universität/Hochschule Einheitengruppe vom speziellen Ring A_d
kokosnusskopf
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  Themenstart: 2021-03-07

Der Ring A_d ist so definiert: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51557_matheplanetsazdh.PNG wobei für negative d \(\sqrt d\) definiert ist als \(i\sqrt -d\). Ich habe bereits herausgefunden, dass für negative d gilt: \({A_{-3}}^x = \{-1, 1, -w_{-3}, w_{-3}, -{w_{-3}}^2, {w_{-3}}^2\} \\ {A_d}^x = \{-1, 1\}, d \neq -3\) \(A_0\) ist offenbar der Ring der ganzen Zahlen deshalb gilt \({A_0}^x = \{-1, 1\}\) Für positive d konnte ich zeigen, dass falls \(\vert{A_d}^x\vert < \infty\) gilt, wieder \({A_d}^x = \{-1, 1\}\) gelten muss. Es fehlen also nur noch die Fälle, bei denen d positiv ist mit \(\vert{A_d}^x\vert = \infty\). d=2 ist so ein Fall. Wie geht man vor, um zu bestimmen, für welche d die Einheitsgruppe endlich ist und wie bestimmt man \({A_d}^x\) für \(\vert{A_d}^x\vert = \infty\)?


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qwertzusername
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-08

Hallo, sagt dir der Dirichletschen Einheitensatz was? Du betrachtest hier den Spezialfall für quadratische Körper.


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Kezer
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-08

In LaTeX schreibt man die Einheitengruppe übrigens mit \times, nicht mit x.


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kokosnusskopf
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09

um den dirichletschen einheitensatz zu verstehen, ist mein algebra wissen zu gering. kann man die frage nicht auch mit grundlegenden sätzen und methoden aus der algebra beantworten?


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Kezer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-09

Du solltest benutzen, dass ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn ihre (Körper-)Norm eine Einheit ist. Daraus ergibt sich eine Pell‘sche Gleichung, deren Lösungen genau die Einheiten sind. Lautet die Aufgabenstellung wirklich, dass du die gesamte Einheitengruppe bestimmen sollst? Die Aufgabe gehört eher in eine AlgZT Vorlesung als in eine Einführung zur Algebra (wie ich finde).


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kokosnusskopf
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09

\quoteon(2021-03-09 21:59 - Kezer in Beitrag No. 4) Du solltest benutzen, dass ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn ihre (Körper-)Norm eine Einheit ist. Daraus ergibt sich eine Pell‘sche Gleichung, deren Lösungen genau die Einheiten sind. \quoteoff Meinst du mit Körper-Norm den komplexen Absolutbetrag? Ich habe gerade die Pellsche Gleichung gegooglet, meinst du mit Norm-Funktion vielleicht \(N: A_d \to ?: n+mw_d \mapsto n^2-(mw_d)^2\)? Im Fall \(4 \mid n-1\) ist N(a) für allgemeines \(a \in A_d\) doch dann keine natürliche Zahl mehr, oder irre ich mich? Oder meinst du mit Körper-Norm hier die Normfunktion, die ein Körper besitzen muss, weil er ein Euklidischer Ring ist? Die ist doch im allgemeinen gar nicht eindeutig bestimmt oder? Wie ist hier überhaupt zu verstehen, dass die Körpernorm eine Einheit sein soll bzw. in welchem Ring soll sie eine Einheit sein? \quoteon Lautet die Aufgabenstellung wirklich, dass du die gesamte Einheitengruppe bestimmen sollst? Die Aufgabe gehört eher in eine AlgZT Vorlesung als in eine Einführung zur Algebra (wie ich finde). \quoteoff Ne, die für meine Frage verantwortliche Aufgabe war eigentlich nur, \({A_d}^\times\) für d = -2, -3, -5 zu bestimmen. Mich hat aber irgendwie der allgemeine Fall mehr interessiert..


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\) Der allgemeine Fall ist nicht so leicht und bedient sich Ideen aus der algebraischen Zahlentheorie. Es ist oft das erste Beispiel, das man nach der Einführung des Dirichlet'schen Einheitensatzes sieht, da quadratische Körper die leichtesten nicht-trivialen Zahlkörper sind. Ich führe mal im Folgenden meine Skizze aus Beitrag No. 4 aus. Def 1. Ein Zahlkörper ist eine endliche Erweiterung $K/\Q$. Der Ganzheitsring $\OO_K$ ist der ganze Abschluss von $\Z$ in $K$. Beispiel 2. Sei $D \in \Z$ quadratfrei. Der Ganzheitsring quadratischer Erweiterungen $K = \Q(\sqrt{D})/\Q$ ist genau in deiner Aufgabenstellung gegeben, nämlich durch $$\OO_K = \begin{cases} \Z \left[\frac{1+\sqrt{D}}{2} \right] \quad & D \equiv 1 \pmod 4,\\ \Z[\sqrt{D}] & D \equiv 2,3 \pmod 4. \end{cases}$$ (Das kann/muss man nachrechnen.) Wir beschränken uns im Folgenden auf den Fall $D \equiv 2,3 \pmod 4$, der Fall $D \equiv 1 \pmod 4$ ist ein bisschen schwieriger, aber geht ähnlich. Def 3. Sei $L/K$ eine Galois-Erweiterung mit $\Gal(L/K) = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n \}$. Dann ist die Norm definiert durch $$ N_{L/K} : L \to K, \ N_{L/K}(x) = \prod_{i = 1}^n \sigma_i(x). $$ Beispiel 4. In unserem Fall quadratischer Erweiterungen für $D \equiv 2,3 \pmod 4$ ist $$N_{K/\Q}(a+b \sqrt{D}) = a^2 - Db^2.$$ Lemma 5. Der Einfachheit halber sei $K/\Q$ eine Galois-Erweiterung (aber es geht auch allgemeiner). Dann gilt $$\OO_K^{\times} = \{x \in \OO_K : N_{K/\Q}(x) \in \{-1, 1 \} \}.$$ Beweis. Die Inklusion $\subseteq$ folgt weil die Norm multiplikativ ist. Die umgekehrte Inklusion folgt, da $N_{K/\Q}(x) = \prod_{i=1}^n \sigma(i) = \pm 1$ ein Produkt mit $x$, welches eine Einheit ausgibt, liefert. Um nun zum Problem der Einheiten in $\OO_K$ zu kommen, müssen wir nach Lemma 5 genau diejenigen $a+b \sqrt{D}$ mit $a,b \in \mathbb{Z}$ finden, sodass $a^2 - Db^2 = \pm 1$ gilt. Das entspricht der Lösung Pell'scher Gleichungen, was nicht trivial ist. Der bereits von qwertzusername erwähnte Dirichlet'sche Einheitensatz gibt ein Existenzkriterium, nämlich folgt für $D < 0$ dann $\OO_K^{\times} \cong \Z \times \{-1, 1 \}$. Das zeigt insbesondere, dass die Pell'sche Gleichung eine kleinste Lösung hat, welche alle anderen Lösungen erzeugt. Das ist die Fundamentaleinheit des Ganzheitsrings. Das kann man aber auch elementarer zeigen. Allgemeiner besagt der Dirichlet'sche Einheitensatz, dass $\OO_K^{\times}$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist und charakterisiert sie sogar komplett, i.e. liefert ihre Torsionsgruppe und ihren Rang. Es ist $$\OO_K^{\times} \cong \Z^{r_1 + r_2 - 1} \times \mu_{\infty}(K),$$ wobei mit $r_1, r_2$ die reellen und (die Hälfte der) komplexen Einbettungen und mit $\mu_{\infty}(K)$ die Einheitswurzeln gemeint sind.\(\endgroup\)


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