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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktionen
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Universität/Hochschule Holomorphe Funktionen
Matheistcool
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-08


Hallo,

ich habe in einer Altklausur folgende Aufgabe gefunden:

Sei $f:U \rightarrow \mathbb{C}$ holomorph (U offen und Teilmenge $\mathbb{C}$) mit $f(U)$ Teilmenge $\mathbb{C} \backslash (-\infty, 0]$. Nun ist zu zeigen, dass dann für jeden geschlossenen, nullhomologen Weg $\gamma$ gilt:
$\int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} = 0$.

Ich habe eine Lösung gefunden, die mir allerdings irgendwie zu leicht vorkommt und deshalb denke ich, dass ich eventuell einen Denkfehler habe.

Und zwar ist ja f(z) ungleich 0 für alle $z \in U$. Da f(z) holomorph ist, ist somit auch $\frac{1}{f(z)}$ holomorph. Zudem ist auch f'(z) holomorph, da f(z) holomorph ist. Als Produkt zweier holomorpher Funktionen ist also $\frac{f'(z)}{f(z)}$ holomorph und damit verschwindet nach Cauchys Integralsatz das Integral.

Alternativ habe ich das Ganze auch mit partieller Integration zeigen können.

Mir kommen allerdings beide Lösungswege viel zu leicht vor, vor allem, weil es auf die Aufgabe recht viele Punkte gibt :D

Danke schon mal!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
David42
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 10.03.2021
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-10


Hallo,

Grundsätzlich sehen beide Lösungswege richtig aus. Es sieht so aus, als ob die Aussage sehr stark an das Prinzip vom Argument angelehnt ist (wobei hier nur der einfache Fall bewiesen werden muss. Eventuell ist das eine Aufgabe um euch ein paar Punkte zu 'schenken'.

Beste Grüße,
David



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