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  Wahr- oder Falsch-Aussagen Funktionentheorie (holomorphe Funktion angeben)) |
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Jabaa2
Aktiv 
Dabei seit: 04.03.2021
Mitteilungen: 24
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Hallo,
ich hätte noch einen Fragenkomplex in einer Altklausur:
Es geht wieder um wahr falsch Aussagen mit Begründung
  
a) Es existiert eine Funktion f(z), die holomorph in einer Umgebung von 0 ist,und die an den Stellen {(z_(n)=1/(n))} n \el\ \IN die Werte 0, 1/2, 0, 1/4, 0, 1/6 ,....., 0, 1/(2k) (n=2k) annimmt b) Es existiert eine Funktion f(z), die holomorph in einer Umgebung von 0 ist,und die an den Stellen {(z_(n)=1/(n))} n \el\ \IN die Werte 1/2, 2/3, 3/4, ....., n/(n+1), ..... annimmt c) Es existiert eine Funktion f(z), die holomorph in einer Umgebung von 0 ist,und die an den Stellen {(z_(n)=1/(n))} n \el\ \IN die Werte 1, 1/8, 1/27, ..... , 1/n^3 , ..... annimmt und zusätzlich f(z_n)=f(-z_n) für alle n \el\ erfüllt.
Ich weiß nicht wie ich diese Aufgaben angehen soll. Über hilfe und Tipps würde ich mich freuen.
Viele Grüße
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 425
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-08
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Hallo Jabaa2,
es sollte Dir nicht all zu schwer fallen, erstmal holomorphe Funktionen mit folgenden Eigenschaften zu finden:
Bei a): \(g(\frac{1}{n})=0\) für ungerade \(n\).
Bei b): \(g(\frac{1}{n})=\frac{n}{n+1}\).
Bei c): \(g(\frac{1}{n})=\frac{1}{n^3}\).
Dann kannst Du Dir überlegen, inwiefern holomorphe Funktionen mit diesen Eigenschaften denn schon eindeutig bestimmt sind und ob das mit den weiteren Forderungen vereinbar ist.
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Jabaa2
Aktiv
Dabei seit: 04.03.2021
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08
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Also ich habe folgende Fuktionen gefunden:
(a) g(z)=0 für alle z in einer Umgebung von 0. (b) g(z)=(1/z)/(1/z+1) (c) g(z)= z^3
für diese drei Funktionen gelten diese Aussagen.
ich bin mir relativ sicher, dass ich bei der (a) dass Identitätstheorem anwenden können müsste. Da die Folge a_n= 1/n unendlich nah an die 0 kommt, wird es in jeder Umgebung von der 0 solch ein a_n geben. Damit hat diese Folge ein Element, welches ein Häufungspunkt in der Menge der Umgebung der 0 ist. Damit muss aber mein g(z) mit der Funktion identisch sein, welche in (a) durch irgendeine Funktionerzeugt wird. Also ist (a) falsch, da diese Funktion nicht überall 0 ist.
Ich hoffe meine argumentation ist richtig.
(b) Dort habe ich nach ein bisschen länger überlegen ;) die ober Funktion bekommen, diese passt und ist in einer Umgebung von 0 holomorph. Also Aussage (b) stimmt.
(c) Bei der weiß ich nicht wirklich weiter, bin mir nicht sicher, aber kann man dort auch irgendwie mit dem Identitätssatz arbeiten ?
Ach vielleicht ist mir noch was eingefallen zur (c)
Wenn es noch eine Funktion f(z) gäbe,die mit meiner Funktion g(z) übereinstimmen würde, dann hätten diese Funktionen gemeinsame Häufungspunkte und wären somitin einer 0-Umgebung gleich, laut Identitätssatz. Die Zusatzvorraussetzung macht, dann aber alles zunichte, da dies nicht für meine Funktion gilt, gilt es für keine Funktion mit dieser Eigenschaft, weil diese schon mit meiner übereinstimmen müsste, aber meine Funktion g(z)=z^3 erfüllt die zweite Eigenschaft nicht.
Also ist (c) falsch
Wie sieht es aus vollkommender Humbug oder gute Argumentation ;) .
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 425
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-09
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Nein, das ist kein vollkommener Humbug^^ Im Prinzip stimmt es so.
Zu a): Da für jede Umgebung \(U\) der \(0\) die Menge \(U\cap\{z_n\,|\,n\in\mathbb{N}\}\) den Häufungspunkt \(0\) hat (welcher in \(U\) liegt), folgt aus dem Identitätssatz, dass \(f(z)=g(z)=0\) für alle \(z\in U\). Dies ist ein Widerspruch, da jede Umgebung auch Punkte der Form \(z_n\) mit geradem \(n\) enthält und dort \(f(z_n)=z_n\neq0\) gilt.
Zu b): Die von Dir angegebene Funktion ist so nur für \(z\neq0,-1\) definiert. Du müsstest noch begründen, warum sie sich in \(0\) so fortsetzen lässt, dass sie in einer Umgebung der \(0\) holomorph ist (was aber natürlich nicht schwierig ist).
Zu c): Aus dem Identitätssatz folgt wieder wie in a), dass \(f(z)=g(z)=z^3\) für alle \(z\) aus der Umgebung \(U\). Da es aber stets \(z_n\) mit \(z_n,-z_n\in U\) gibt und \(f(-z_n) = -f(z_n)\neq f(z_n)\) wegen \(f(z_n)\neq0\) ist, liefert dies einen Widerspruch.
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Jabaa2
Aktiv
Dabei seit: 04.03.2021
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09
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Dankeschön für deine Hilfe nochmeinmal. Die Tipps sind sehr hilfreich. Ich weiß nicht , aber irgendwie brauche ich oft den ersten Anstoßpunkt. Hoffentlich klappt es in der Klausur auch ohne ersten Tipp.
Viele Grüße
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Jabaa2
Aktiv 
Dabei seit: 04.03.2021
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09
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