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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Abbildungsmatrix bzgl. Abbildung auf Ableitung
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Universität/Hochschule J Abbildungsmatrix bzgl. Abbildung auf Ableitung
MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-08


Hey Leute,

gegeben ist vom reellen Vektorraum \(V=C^2([0,1])\) der Untervektorraum \(U=\text{span}\left\{f_1,f_2,f_3\right\}\) mit \(f_1(x)=1\), \(f_2(x)=\frac12\sin(2x)\) und \(f_3(x)=\sin^2(x)\), sowie die lineare Abbildung \(\Phi:U\rightarrow U, \Phi(f)=f''\). Gesucht ist die Abbildungsmatrix \(D\) von \(\Phi\) bezüglich der geeordneten Basis \((f_1,f_2,f_3)\).

Ich habe bereits rausgefunden, dass für \(f=c_1f_1+c_2f_2+c_3f_3\) mit \(c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}\) die Abbildung \(\Phi(f)=2c_3f_1-4c_2f_2-4c_3f_3\) lautet. Doch wie komme ich jetzt auf eine Abbildungsmatrix? Da sowohl \(f\), als auch \(\Phi(f)\) skalar sind, muss die "Abbildungsmatrix" ja selbst auch ein Skalar sein, oder?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-08


Hallo MasterWizz,

falls nicht bekannt, dann ist hier eine geeignete Tabelle mit der einen oder anderen trigonometrischen Identität hilfreich.

Leite jedes der drei Basiselemente zweimal ab und drücke die zweite Ableitung als Linearkombination der Basis aus. Das ergibt die gesuchte Matrix.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]



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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08


Hey Diophant, das zweimalige Ableiten und Ausdrücken als Linearkombination habe ich bereits gemacht in meinem ersten Post. Doch wie ergibt das entstehende Skalar eine Matrix?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-08


Hallo,

du hast doch drei Funktionen. Diese musst du jeweils (getrennt!) ableiten und die Ableitungen als Linearkombinationen der Basis darstellen.

Jede dieser drei Linearkombinationen ergibt jeweils eine Spalte der gesuchten 3x3-Matrix (denn die Spalten müssen ja die Bilder der Basisvektoren sein).


Gruß, Diophant



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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08


Das habe ich getan.

\(\Phi(f_1)=0\), \(\Phi(f_2)=-4f_2\) und \(\Phi(f_3)=2f_1-4f_3\). Ich habe zwar die Vermutung, dass die Matrix jetzt lautet:
\[D=\begin{pmatrix}0&0&2\\0&-4&0\\0&0&-4\end{pmatrix},\] allerdings verstehe ich nicht, wie das mit den Dimensionen vereinbar ist. Würde dann gelten, dass \(\Phi(f)=Df\) ist? Aber \(f\) ist doch skalar und kein Vektor und selbst wenn ich den Vektor \(f=(f_1,f_2,f_3)^\top\) dran multipliziere (was fraglich ist, weil ja \(f\) skalar ist), stimmt das ja auch wieder nicht, wenn wir ausmultiplizieren. Kannst du mir erklären wie das alles zusammen passt? Ich möchte es wirklich verstehen und nicht nur irgendeine Rechnung in der Prüfung durchführen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

deine Matrix stimmt. 👍

Deine Einwände verstehe ich nicht. Was soll dieses \(f\) sein? Eine Funktion \(f\) kommt (als konkret gegebene Funktion) in der Aufgabe nicht vor.

Natürlich geht es hier um eindimensionale Funktionen. Aber es geht eben auch und vor allem um einen dreidimensionalen Unterraum von \(C^2[0,1]\).

Die Abbildungsmatrix kannst du jetzt für jede Funktion aus diesem Unterraum verwenden, um deren zweite Ableitung zu berechnen (jeweils wieder als Linearkombination der gegebenen Basis).

Die zweite Ableitung von \(f(x)=1-\sin x \cos x+\sin^2 x\) berechnet sich bspw. so:

\[\bpm 0&0&2\\0&-4&0\\0&0&-4\epm\cdot \bpm 1\\-1\\1\epm=\bpm 2\\4\\-4 \epm\]
Also haben wir

\[f''(x)=2\cdot 1+4\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)-4\sin^2 x\]
Verstehst du so den Sinn dahinter?


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09


Ah ich verstehe!! Der Vektor, der dran multipliziert wird, ist wie immer ein Koordinatenvektor!!! Das muss ich endlich mal in meinen Schädel kommen xD
Vielen lieben Dank!!



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