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Mathematik » Stochastik und Statistik » Tabellenplatz Wahrsch.
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Schule J Tabellenplatz Wahrsch.
CapaIL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-23


Hallo,

ich suche schon seit ein paar Tagen, aber ich veranstalte eine kleine Liga mit 10 Spielern.
Die Tabelle wird wie in der Bundesliga berechnet (3 Punkte für Sieg, 1 Punkt für Unentschieden). Jeder Spieler spielt 2x gegen einen anderen Spieler. Das heißt ich habe 18 Spieltage.

Nun sind 12 Spieltage vorbei und die Tabelle hat sich dahingehend auch entwickelt.
Zur Frage:
Nun möchte ich für die Spieler eine Wahrscheinlichkeit ausrechnen auf welchem Platz er am Ende der Saison steht. Zum Beispiel könnte es sein, dass der Erste nicht mehr schlechter als Platz 5 werden kann, da Platz 6 bis 10 zu viel Punktrückstand haben oder ähnliches. Das wäre dann für Platz 6 bis 10 0%. Aber wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Spieler auf jeden einzelnen Platz zu landen?

Die aktuelle Tabelle



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-23


Hallo und willkommen hier im Forum!

Das kann man so nicht beantworten. Offensichtlich bist du der Ansicht, dass die Spiele, die noch stattfinden werden, nicht rein zufällig ausgehen sondern von den bisherigen Spielausgängen abhängig sind. Wie diese Abhängigkeit aussieht, muss man ja zunächst einmal definieren, und daran scheitert ein solches Vorhaben dann auch schon.

So ist es bspw. recht wahrscheinlich, dass diese Saison der 1. FC Köln (kurz: der FC) aus der ersten in die zweite Bundesliga ab- oder der Hamburger Sportverein (kurz: HSV) aus der zweiten in die erste Bundesliga aufsteigt. Dennoch gibt es Leute die glauben, dass es genau andersherum kommt. 😎


Gruß, Diophant



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-23


So ist es bspw. recht wahrscheinlich, dass diese Saison der 1. FC Köln (kurz: der FC) aus der ersten in die zweite Bundesliga ab- und der Hamburger Sportverein (kurz: HSV) aus der zweiten in die erste Bundesliga aufsteigt. Dennoch gibt es Leute die glauben, dass es genau andersherum kommt.
🤔 Wie... "genau andersherum"? 🤔
1. Der FC steigt aus der zweiten in die erste Bundesliga auf,
und der HSV steigt von der ersten in die zweite Bundesliga ab?
2. Der FC steigt nicht ab UND der HSV steigt nicht auf?
3. Der FC steigt nicht ab ODER der HSV steigt nicht auf?
4. Der 1. FC Hamburg steigt ab, und der Kölner SV steigt auf?
... Ich bin verwirrt! 😉
Nahezu sicher scheinen mir indes zwei Dinge:
1. Fürth verpasst die Relagation knapp.
2. Der FCN erreicht die Relegation - um den Abstieg. 🙄


-----------------

ADMIRATIONIS  SUI  SATISFACTIONIS  SACRA  SITIS




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CapaIL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-23


2021-03-23 12:27 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo und willkommen hier im Forum!

Das kann man so nicht beantworten. Offensichtlich bist du der Ansicht, dass die Spiele, die noch stattfinden werden, nicht rein zufällig ausgehen sondern von den bisherigen Spielausgängen abhängig sind. Wie diese Abhängigkeit aussieht, muss man ja zunächst einmal definieren, und daran scheitert ein solches Vorhaben dann auch schon.

So ist es bspw. recht wahrscheinlich, dass diese Saison der 1. FC Köln (kurz: der FC) aus der ersten in die zweite Bundesliga ab- oder der Hamburger Sportverein (kurz: HSV) aus der zweiten in die erste Bundesliga aufsteigt. Dennoch gibt es Leute die glauben, dass es genau andersherum kommt. 😎


Gruß, Diophant

Hallo, danke!
Nein ich gehe von allen möglichen Szenarien aus. Also rein zufällig ohne Abhängigkeit der Stärke der Spieler oder der vorherigen Partien.

Ich meine schlussendlich so etwas:
hier



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-23


2021-03-23 14:49 - CapaIL in Beitrag No. 3 schreibt:
Nein ich gehe von allen möglichen Szenarien aus. Also rein zufällig ohne Abhängigkeit der Stärke der Spieler oder der vorherigen Partien.

Ich meine schlussendlich so etwas:
hier

Dann hängt es immer noch vom (restlichen) Spielplan ab. Denn das Resultat eines Spiels betrifft ja immer zwei Mannschaften bzw. Spieler.

Die verlinkte Statistik ist ja nicht hinterfragbar. Aber die Fernsehsender haben ja alle ihre Datenbanken (oder vielleicht gibt es das auch schon längst als externe Dienstleistung), von daher gehe ich einmal stark davon aus, dass diese Statistik auf geschätzten Spielstärken und vergangenen Resultaten aufbaut.


Gruß, Diophant



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-23


Hallo,

Die Wahrscheinlichkeiten aus deinem Link kommen vermutlich aus vielen 1000 zufälligen Simulationen der restlichen Spiele; hinter der Simulation eines jeden Spiels verbirgt sich in irgendeiner Form ein Modell, das die Stärke der einzelnen Mannschaften widerspiegelt. Siehe zum Beispiel fivethirtyeight.com/methodology/how-our-club-soccer-predictions-work/ für eine Beschreibung des dort verwendeten Modells:

Once we have probabilities for every match, we then run Monte Carlo simulations to play out each league’s season 20,000 times using those forecasts. As with our other projections, we run our Monte Carlo simulations “hot,” meaning that instead of a team’s ratings remaining static within each simulated season, the ratings can rise or fall based on the simulated matches the team plays. In effect, this widens the distribution of possible outcomes by allowing a weak team to go on a winning streak and increase its ratings substantially, or providing for the possibility that a strong team loses its first few games of a simulated season and is penalized accordingly.

Exakte Lösungen wird es vermutlich auch nicht geben; dafür ist das Problem zu komplex. Im allgemeinen ist schon die Frage, ob gegeben eine aktuelle Tabelle und den restlichen Spielplan Mannschaft X überhaupt theoretisch noch Meister werden kann NP-schwer (jedenfalls mit der 3-Punkte-Regel), und das müsste man ja insbesondere lösen.

Wer diesbezüglich noch etwas zu lachen haben will, kann sich fivethirtyeight.com/features/good-news-browns-your-chances-of-making-the-playoffs-are-only-1-in-19-quintillion/ durchlesen. 😎

Alternativ kann man auch einfach über Schalke lachen.

vG,
Fabi

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-23


Hallo CapaIL,

2021-03-23 14:49 - CapaIL in Beitrag No. 3 schreibt:
Nein ich gehe von allen möglichen Szenarien aus. Also rein zufällig ohne Abhängigkeit der Stärke der Spieler oder der vorherigen Partien.

Kann man natürlich machen. Also: Alle folgenden Spiele sind zufällige, unabhängige Ereignisse, bei denen jeder Spieler die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat.

Auch mit diesen vereinfachten Annahmen das Gewünschte auszurechnen halte ich für recht kompliziert. Aber man könnte eine Simulation programmieren, und die ein paar Millionen Mal laufen lassen. Ich denke, dass das dann schon recht präzise Ergebnisse liefert.

Um solch eine Simulation zu programmieren fehlen aber noch Angaben.
- Welche Paarungen stehen noch aus? (Was Diophant ja bereits anmerkte.)
- Wie groß ist die W'keit für ein Remis?

Wenn ich mir deine Tabelle ansehe, liegt die W'keit für ein Remis bei ca. 1/15.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-23


2021-03-23 15:25 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6 schreibt:
- Wie groß ist die W'keit für ein Remis?

Und da es hier Hin- und Rückrunde gibt ergänze ich das mal noch um die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit für Sieg und Niederlage ist, also konkret: gibt es hier so etwas wie einen 'Heimvorteil'?


Gruß, Diophant



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CapaIL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-23


Okey, danke für die ganzen Antworten.

Ich möchte es so einfach wie möglich halten um ehrlich zu sein, nur um das grob auszurechnen. Damit würde ich die Ergebnisse bei Sieg/Unentschieden/Niederlage auf jeweils 1/3 setzen.
Natürlich weiß ich, dass die restlichen Paarungen eine Rolle spielen, da sich die Spieler auch gegenseitig die Punkte wegnehmen können.

Ich hatte den Ansatz, dass ich ausrechne wie viele Punkte ein Spieler in den restlichen Partien bis zum Ende der Saison haben kann. Bei noch 4 Spielen wären das für jeden Spieler +0 bis maximal +12 Punkte, aber +11 Punkte sind nicht mehr möglich. Das würde bedeuten, dass J maximal 17 Punkte am Ende der Saison haben kann und somit auch nur maximal Platz 7. Aber dann müsste ich wirklich alle Spieltage beachten. Aber da bin ich stecken geblieben.



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Diophant
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Hallo,

dein Wunsch ist wohl der, dass man das alles jetzt in eine schöne Formel packen könnte. Das wird aber nichts: für das gewünschte Resultat (siehe deinen Link) wirst du eine Simulation programmieren müssen, um diese dann oft genug durchlaufen zu lassen. Dann bekommst du für jeden Spieler eine solche Verteilung, also welcher Rang von einem Spieler mit welcher relativen Häufigkeit bei den Simulationsdurchläufen erreicht wurde.

Mit den obigen Ausgangsdaten könntest du dich da jetzt daran machen.


Gruß, Diophant



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CapaIL
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Vielen Dank!

Dann setze ich mich mal daran :)



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CapaIL hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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