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Universität/Hochschule J Überlagerung des Torus
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Guten Abend miteinander

Ich beschäftige mich zurzeit mit folgender Aufgabe:

Definition (Überlagerung).
Haben wir gleich wie Wikipedia (siehe hier).

Aufgabe.
Zeige, dass die Abbildung $f: S^1 \times S^1 \to S^1 \times S^1$, definiert als
\[
    \begin{align*}
        f(z,w) := (z^{a}w^b,z^cw^d)
    \end{align*}
\] für eine feste Matrix $A:= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{GL}(2;\Z)$, eine Überlagerung ist mit $|\det(A)|$ Blättern.

Wo stehe ich gerade?
Ich konnte zeigen, dass $f$ zwischen top. Räumen abbildet. Die Anzahl Blätter zu "zählen" erscheint mir simpel genug (Finde eine Faser, bestimme dessen Kardinalität). Jedoch habe ich keinen Plan, wie die Urbilder von $f$ aussehen (diese brauche ich - so glaube ich - zur Konstruktion der Blätter und Fasern)...

Wie geht man hier vor?🤔

LG Phoensie😄
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-23


Hallo,

wie habt ihr $\text{GL}(2,\mathbb Z)$ definiert? In meiner Welt gilt $|\det (A)|=1$ für alle $A\in\text{GL}(2,\mathbb Z)$. Wahrscheinlich ist eher $\text{GL}(2,\mathbb R)\cap \mathbb Z^{2,2}$ gemeint?

Für die Urbilder kannst du doch ganz genauso wie bei linearen Gleichungen umstellen. Nur ist das Multiplizieren einer Zeile mit einer bestimmten Zahl zu potenzieren. Und das Addieren zweier Zeilen ist die Zahlen zu multiplizieren. Aus $x=z^aw^b$, $y=z^cw^d$ folgt $x^c = z^{ac}w^{bc}$ und $y^a = z^{ac}w^{ad}$. Somit ist $y^{a}x^{-c} = w^{ad-bc} = w^{\det A}$. Weiter folgt $x^d=\ldots $ und $y^b=\ldots $ aus $x=z^aw^b$, $y=z^cw^d$. Somit erhalten wir $x^dy^{-b} = z^{\det A}$. Insgesamt kommen wir auf
\[
\begin{align*}
w^{\det A} &= x^{-c} y^{a}\\
z^{\det A} &= x^dy^{-b}
\end{align*}
\]



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-23

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2021-03-23 20:59 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
wie habt ihr $\text{GL}(2,\mathbb Z)$ definiert?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)

Bei uns ist
\[
\operatorname{GL}(2;\Z) := \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \; \Big| \; a,b,c,d \in \Z; \, ad-bc \neq 0 \right\}
\]
\(\endgroup\)


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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-23


Hi,

Direkt mit der Definition alles nachzurechnen ist möglich, aber vermutlich hässlich und wenig lehrreich.

Deine Konstruktion ordnet jeder Matrix $A$ eine Abbildung $f_A: S^1 \times S^1 \rightarrow S^1 \times S^1$ zu. Kannst du für zwei Matrizen A,B etwas über das Verhältnis von $f_A, f_B, f_{AB}$ aussagen? Wenn man das hat, kann man sich mit etwas linearer Algebra über den ganzen Zahlen auf den Fall b=c=0 zurückziehen, der im Wesentlichen klar ist.

vG,
Fabi




-----------------
"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-24

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Lieber Fabi

Ich verstehe nicht ganz, was deine Idee ist.🤔😁 Wagen wir uns mal ran: Für jede Matrix
\[
M:=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix} \in \operatorname{GL}(2;\Z)
\] definiere man $f_M:S^1 \times S^1 \to S^1 \times S^1$ als \[(z,w) \mapsto f_M(z,w):= (z^{m_{11}} w^{m_{12}}, z^{m_{21}} w^{m_{22}}).\] Dann kann direkt nachgerechnet werden, dass für $A,B \in \operatorname{GL}(2;\Z)$ die Gleichheit $f_A(z,w) \cdot f_B(z,w) = f_{A+B}(z,w)$ für alle $z,w \in S^1$ gilt.

Beweis.
\[
\begin{align*}
        f_A(z,w) \cdot f_B(z,w)
        &= (z^{a_{11}}w^{a_{12}},z^{a_{21}}w^{a_{22}}) \cdot (z^{b_{11}}w^{b_{12}},z^{b_{21}}w^{b_{22}}) \\
        &= (z^{a_{11}}w^{a_{12}}z^{b_{11}}w^{b_{12}} , z^{a_{21}}w^{a_{22}}z^{b_{21}}w^{b_{22}}) \\
        &= (z^{a_{11}}z^{b_{11}}w^{a_{12}}w^{b_{12}} , z^{a_{21}}z^{b_{21}}w^{a_{22}}w^{b_{22}}) \\
        &= (z^{a_{11}+b_{11}}w^{a_{12}+b_{12}} , z^{a_{21}+b_{21}}w^{a_{22}+b_{22}}) \\
        &= f_{A+B}(z,w).
    \end{align*}
\] Wie hilft mir das jetzt weiter?🤔 (ich erkenne den Zusammenhang zur Aufgabe nicht)

LG Phoensie
\(\endgroup\)


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Mit Fabis Tipp konnte ich nun zeigen, dass
\[
f_A \circ f_B = f_{AB}.
\]
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Fabi
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Jetzt überlege dir, dass wir uns statt A genausogut auch $SAT$ für über $\mathbb{Z}$ invertierbare Matrizen $S, T$ anschauen können. Dann können wir elementare Zeilen- und Spaltenumformungen auf A loslassen.

vG,
Fabi


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"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

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