Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » ** Grenzwertig VII Osterrätsel
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich ** Grenzwertig VII Osterrätsel
Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 704
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-26 11:01


Für die Karwoche und das Osterwochenende etwas besonders Schönes:

Sei $\displaystyle k$ eine positive natürliche Zahl und $\displaystyle f(k)$ die Anzahl der Ziffern 1 in der Binärdarstellung von $\displaystyle k$.

Zeige, dass $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k(k+1)}$ existiert und bestimme diesen Grenzwert.

Viel Freude; Lösungen wie gewohnt bitte mit PN.

Grüße Squire



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Deine Lösung nicht direkt im Forum posten darfst.
Sende stattdessen Deine Lösung als private Nachricht an den Themensteller. Benutze dazu den Link 'Privat', den Du unter seinem Beitrag findest.
Der Themensteller wird zu gegebener Zeit über eingesandte (richtige) Lösungen informieren
und nach Ablauf einer (von ihm) festgelegten Zeit alle Lösungen veröffentlichen.
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 814
Herkunft: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-28 18:43


An dieser Stelle nur eine Klarstellung:
Aufrichtigen heißen Dank, Squire,
für Deine regelmäßigen, echt herausfordernden Grenzwert-Knobeleien!
Der Grund, weshalb ich dazu noch[!] wenig beitragen konnte,
ist mein angesetzter "Hirnrost" bezüglich Grenzwertrechnungen.
Ich arbeite indes schon heimlich an der allmählichen "Rostlösung"! 🤗


-----------------

ADMIRATIONIS  SUI  SATISFACTIONIS  SACRA  SITIS




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 704
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-31 15:23


Eine richtige Lösung ist schon bei mir eingelangt. Alle anderen haben noch die Möglichkeit, über das Wochenende zu grübeln. Schon jetzt Frohe Ostern!

Grüße Squire



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 704
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-04 11:25


Gratulation an

MontyPythagoras
Wauzi

Mit der Lösung lasse ich mir noch etwas Zeit, vielleicht möchte sich noch jemand versuchen.

Schönen Ostersonntag!

Squire



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 704
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-08 10:18


Ich freue mich, dass

wrdlprmpfd

das Stockerl/Treppchen komplettiert. Glückwunsch! Hier meine Lösung:


Konvergenz:

Die Anzahl der Stellen einer Binärzahl ist kleiner gleich $1+\log_2{k}$. Es gilt für geeignet große $k$: $\frac{f(k)}{k(k+1)}\leq\frac{1+\log_2{k}}{k(k+1)}\leq \frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}=\frac{1}{\sqrt{k}(k+1)}$ und daher absolute Konvergenz der Reihe.
Wir setzen $s= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k(k+1)}$.

Vorüberlegung:

Es gilt für alle positiven $k$: $f(2k)=f(k)$ und $f(2k+1)=f(2k)+1=f(k)+1$.

Grenzwert:

Wir teilen die absolut konvergente Reihe in gerade und ungerade Indizes:
$s= \sum_{k=1}^\infty \frac{f(k)}{k(k+1)}=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^\infty \frac{f(2k)}{2k(2k+1)}+\sum_{k=1}^\infty \frac{f(2k+1)}{(2k+1)(2k+2)}=$

$=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^\infty \frac{f(k)}{2k(2k+1)}+\sum_{k=1}^\infty \frac{f(k)+1}{(2k+1)(2k+2)}=$

$=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{f(k)}{2k(2k+1)}+\frac{f(k)}{(2k+1)(2k+2)} \right)+\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)(2k+2)}=$

$=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{f(k)}{2k}-\frac{f(k)}{2k+1}+\frac{f(k)}{2k+1}-\frac{f(k)}{2k+2} \right)+\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2} \right)=$

$=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{f(k)}{k}-\frac{f(k)}{k+1} \right)+\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2} \right)=\frac{s}{2}+\ln{2}$

und somit

$s=\frac{s}{2}+\ln{2}\Rightarrow s=2\ln{2}$




Danke fürs Mitmachen und Grüße Squire



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Squire hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Deine Lösung nicht direkt im Forum posten darfst.
Sende stattdessen Deine Lösung als private Nachricht an den Themensteller. Benutze dazu den Link 'Privat', den Du unter seinem Beitrag findest.
Der Themensteller wird zu gegebener Zeit über eingesandte (richtige) Lösungen informieren
und nach Ablauf einer (von ihm) festgelegten Zeit alle Lösungen veröffentlichen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]