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Analysis » Folgen und Reihen » Großer Umordnungssatz und Doppelreihen
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Universität/Hochschule Großer Umordnungssatz und Doppelreihen
WagW
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  Themenstart: 2021-03-30

Hallo zusammen, ich frage mich wie ich das Vertauschen der Summationsreihenfolge bei Doppelsummen korrekt aus dem großen Umordnungssatz ableiten kann. Definition: Eine Reihe $\sum\limits_{k\in J}a_k$ ist konvergent, wenn es eine Bijektion $\varphi:\mathbb{N}\to J$ gibt, sodass $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{\varphi(k)}$ absolut konvergiert. (In diesem Fall ist die Reihenfolge der Summanden $a_k$ unerheblich) ______________ Großer Umordnungssatz: Sei $J$ eine abzählbare Menge und $J=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}J_n$ eine disjunkte Zerlegung von $J$. $\sum\limits_{k\in J}a_k$ ist konvergent $\iff\sum\limits_{k\in J_n}a_k$ für jedes $n\in\mathbb{N}$ konvergiert und $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in J_n}a_k\right)$ konvergiert absolut. Außerdem gilt $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in J_n}a_k\right)=\sum\limits_{k\in J}a_k$. ______________ Wie zeige ich nun, dass $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{n,m}=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n,m}$ (wobei beide Doppelreihen als absolut konvergent vorausgesetzt werden)? Mein Ansatz: Sei $J=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Jetzt schreiben wir gedanklich alle Tupel $(n,m)\in J$ in einer Matrix, sodass $(n,m)$ in der $n$-ten Zeile und $m$-ten Spalte zu finden ist: $$\begin{array}{rrr} & I_1 & I_2 & I_3 & \cdots \\ J_1 & (1,1) & (1,2) & (1,3)&\cdots\\ J_2 & (2,1) & (2,2) &(2,3)&\cdots\\ J_3 & (3,1) & (3,2)&(3,3)&\cdots\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}$$ $J_n$ steht dann für die $n$-te Zeile von $J$ und $J=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}J_n$. Weiter wissen wir, dass für jedes $n$ die Reihe $\sum\limits_{k\in J_n}a_k$ konvergiert - also $\sum\limits_{k\in J_n}a_k=\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{n,m}$. Daraus folgt die absolute Konvergenz von $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in J_n}a_k\right)$ und es gilt $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in J_n}a_k\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{n,m}$. Jetzt können wir den großen Umordnungssatz anwenden (also die "$\impliedby$"-Richtung) und wissen, dass $\sum\limits_{k\in J}a_k$ konvgeriert. Als Nächstes definieren wir $I_n$ als die $n$-te Spalte von $J$ und erhalten so eine neue disjunkte Zerlegung von $J=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$. Da wir bereits wissen, dass $\sum\limits_{k\in J}a_k$ konvergiert, können wir den großen Umordnungssatz erneut anwenden ("$\implies$"-Richtung). Folglich konvergiert $\sum\limits_{k\in I_n}a_k$ für jedes $n\in\mathbb{N}$ und $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in I_n}a_k\right)$ konvergiert absolut - also $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in I_n}a_k\right)=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n,m}$. Abschließend erhalten wir also: $$\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n,m}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in I_n}a_k\right)=\sum\limits_{k\in J}a_k=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in J_n}a_k\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{n,m}. $$ Stimmt das so? Ich weiß, dass ich einige Zwischenschritte übersprungen habe, aber mir geht es eher darum zu checken, dass ich in diesem Fall den großen Umordnungssatz korrekt verwendet habe, um zu zeigen, dass das Vertauschen der Summationsreihenfolge egal ist. viele Grüße WagW


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-03

Hallo WagW, \quoteon(2021-03-30 16:49 - WagW im Themenstart) Weiter wissen wir, dass für jedes $n$ die Reihe $\sum\limits_{k\in J_n}a_k$ konvergiert - also $\sum\limits_{k\in J_n}a_k=\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{n,m}$. \quoteoff Woher wissen wir das? \quoteon Daraus folgt die absolute Konvergenz von $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in J_n}a_k\right)$ \quoteoff Warum folgt das? Diese beiden Fragen müssen gar nicht beantwortet werden, wenn man die Voraussetzung "beide Doppelreihen werden als absolut konvergent vorausgesetzt" als absolute Konvergenz von \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum\limits_{k\in J_n}a_k\right)\) verstehen darf (und auch die inneren Reihen alle konvergent). Dann könnte damit der Beweis beginnen und anschließend, wie du schon geschrieben hast, den großen Umordnungssatz in den beiden Richtungen anwenden. Aber wie gesagt, das hängt davon ab, was "beide Doppelreihen werden als absolut konvergent vorausgesetzt" bedeutet. Viele Grüße, Stefan


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