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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz von Folgen
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Universität/Hochschule J Konvergenz von Folgen
JamesNguyen
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  Themenstart: 2021-04-03

Hallo, nach dem Kapitel zu Folgen lese ich in einigen Beweise in der Analysis öfters sowas wie Sei die Folge ( a_n ) _n konvergent mit Grenzwert a. und ( b_n ) _n ein andere Folge. Und weiter wissen wir, dass lim(n->\inf,| a_n-b_n \|) = 0 Dann konvergiert ( b_n ) _n auch gegen a. Ich verstehe ich nicht wie man auf die Konvergenz von ( b_n ) _n aufgrund des Grenzwerts von obigen Betrag schließen kann. (Dazu kenne ich keinen direkten Satz). Was ich verstehe ist nur, wenn man weiß, dass ( b_n ) _n konvergiert, dass dann derselbe Grenzwert rauskommt. Vielen Dank, James


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DominikS
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-03

Hallo, du möchtest zeigen, dass $(b_n)$ unter den genannten Voraussetzungen gegen $a$ konvergiert. Nach Definition ist dafür zu zeigen, dass für alle $\varepsilon >0$ ein $N\in\mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $n\geq N$ gilt, dass $|b_n-a|<\varepsilon$ gilt. Hier habe ich erstmal nur die Definition rezitiert und folge damit der hier beschriebenen Methode. Der Beweis muss also so beginnen: Sei $\varepsilon >0$ beliebig. Untersuchen müssen den Ausdruck $|b_n-a|$ genauer, und so ein $N$ finden. Dazu benutzt man dann den Lieblingstrick der Analysis. Der denn da wäre?


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JamesNguyen
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-03

Danke ich denke das hat geholfen. Ich führe nicht weiter aus. Aber ich denke du meinst -a_n + a_n und dann kann man mit Dreiecksungleichung weiter abschätzen und findet dann mit der Vorraussetzung und der Konvergenz von a_n dann ein max{ N_1 , N_2 } für die die Konvergenz. Das wäre für mich ein eigener Beweis. Weil das in diesen späteren Beweisen einfach so gefolgert wird. Und da habe ich gedacht, dass wäre ohne Zwischenschritte irgendwie begründbar. Danke nochmal James


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JamesNguyen
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-03

Danke nochmal, ich habe damit tatsächlich ein paar weitere ähnliche Beweise nachvollziehen können. Das war ein gute Erinnerung daran, das der Limes nur eine Schreibweise für die eigentlich geltende Regel mit dem Epsilon ist. (Und man da nicht einfach intuitiv argumentieren sollte, sondern das sauber beweisen kann.)


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DominikS
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-03

Ja, mit dieser Vorgehensweise kannst du den Beweis führen. \quoteon Das wäre für mich ein eigener Beweis. Weil das in diesen späteren Beweisen einfach so gefolgert wird. Und da habe ich gedacht, dass wäre ohne Zwischenschritte irgendwie begründbar. \quoteoff Ich verstehe nicht genau was du meinst. Grundsätzlich muss jede Aussage die du benutzt bewiesen/begründet werden. Der Beweis ist aber im Grunde genau der gleiche wenn man zeigt, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist. Wenn man diesen Beweis verstanden hat, dann kann man deinen Beweis leicht finden, oder auch einfach im Kopf durchspielen und es sich so klar machen. So hast du es im Endeffekt ja auch getan. In Skripten, oder Büchern werden solche Beweise dann gerne dem Leser überlassen. Dann ist es wichtig, dass man diese im Text gestellte Übungsaufgabe als solche erkennt, und dann so bearbeitet, dass man damit zufrieden ist (Weiß ich warum das richtig ist? Könnte ich es Beweisen?). Genau für solche Sachen muss man Skripte nacharbeiten. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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JamesNguyen
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-03

Zu erstem, wird ja in Beweisen in Skripten mal gerne für Anfänger zumindest öfters nicht in kleinstSchritten alles begründet. Ich da gedacht das wäre vlt eine leichte Folgerung aus irgendeinem Bekannten Satz. Ja an den Satz zu Cauchy-Folgen habe ich zunächst auch gedacht da man ja da auch im Betrag was ähnliches hat. Bin dem aber leider nicht nachgegangen weil das ja nicht ganz dasselbste ist hier werden Glieder derselben Folge miteinander verglichen. Aber ich sehe jetzt das der Beweis in der Struktur doch sehr ähnlich ist.


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