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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Kombinatorik: Anzahl aller 6-stelligen Zahlen
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Universität/Hochschule J Kombinatorik: Anzahl aller 6-stelligen Zahlen
HelloWorld
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Dabei seit: 05.04.2021
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2021-04-05

Hallo, ich sitze aktuell vor einer Aufgabe und komme partout nicht weiter. Wie viele sechsstellige Dezimalzahlen enthaltendie Ziffern 5 und 7 aber nicht die 0? Mein Ansatz: Schritt 1. Berechne alle 6-stelligen Zahlen, die nicht die 0 enthalten: 9^6 Schritt 2. Zahlen, die nicht die 5 und nicht die 0 enthalten: 8^6 Schritt 3. Zahlen, die nicht die 7 und nicht die 0 enthalten: 8^6 Schritt 4. Rechne 9^6 - 8^6 - 8^6 Schritt 5. Addiere die Zahlen, die eine 5 und 7 enthalten. Und hier komme ich nicht weiter ich versuche seit dem Wochenende jetzt Schritt 5 herauszubekommen, aber ich komme nie auf das richtige ergebnis. Mein Ansatz war zuerst 9^4 , aber da habe ich nur alle Zahlen, die genau eine 5 und eine 7 enthalten. Über Hilfe wäre ich sehr erfreut


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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3053
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-05

Hallo, dein Schritt 5 ist falsch (Logikfehler): Du musst diejenigen Zahlen wieder addieren, die sowohl in Schritt 2 als auch Schritt 3 vorkamen. Das sind allerdings nicht die Zahlen, die eine 5 und eine 7 enthalten.


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-05

Hallo und willkommen hier im Forum! Ich glaube, das muss man etwas anders angehen. Die 5 und die 7 sollen ja jeweils mindestens einmal vorkommen. Also gibt es zwei Ziffern, die wir definitiv mit einer 5 und einer 7 belegen können. Nur wo diese Ziffern innerhalb unserer Zahl stehen, ist noch nicht klar. Für die restlichen vier Ziffern gibt es jeweils die von dir in Schritt 1 verwendeten 9 Möglichkeiten. Also muss man zwei Dinge miteinander multiplizieren: - die Anzahl der Möglichkeiten für die vier frei belegbaren Ziffern und - die Anzahl der möglichen Positionen für die zwei fest belegten Ziffern. Da wirst du noch einen geeigneten Binomialkoeffizienten benötigen... EDIT: Das war ein Irrtum meinerseits hier, sorry. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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HelloWorld
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-05

\quoteon(2021-04-05 14:51 - Nuramon in Beitrag No. 1) Hallo, dein Schritt 5 ist falsch (Logikfehler): Du musst diejenigen Zahlen wieder addieren, die sowohl in Schritt 2 als auch Schritt 3 vorkamen. Das sind allerdings nicht die Zahlen, die eine 5 und eine 7 enthalten. \quoteoff Danke für die Antwort, Ja da sitze ich auch aktuell dran komme aber komplett nicht weiter. Ich brauche den Durchschnitt der Mengen aus Schritt 2 und 3, aber wie komme ich darauf?


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Nuramon
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-05

Du brauchst die Anzahl der Zahlen, die (keine 5 und keine 0) und (keine 7 und keine 0) enthalten. @Diophant: Das funktioniert so nicht, da 5 und 7 auch mehrfach vorkommen dürfen.


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HelloWorld
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-05

\quoteon(2021-04-05 15:10 - Nuramon in Beitrag No. 4) Du brauchst die Anzahl der Zahlen, die (keine 5 und keine 0) und (keine 7 und keine 0) enthalten. @Diophant: Das funktioniert so nicht, da 5 und 7 auch mehrfach vorkommen dürfen. \quoteoff Kann ich die beiden Aussagen zusammenfassen zu (keine 0, keine 5 und keine 7)? Dann würde ich auf 7^6 = 117649 kommen. Das sind alle Zahlen die weder 0 noch 5 noch 7 enthalten. Mein Ansatz nun: Ich ziehe von allen Zahlen ohne 0 Schritt 2 und Schritt 3 ab und erhalte 7153. Jetzt muss ich alle Zahlen ohne Ziffer 0 noch addieren, welche mindestens eine 7 und eine 5. Ausgerechnet habe ich das Gegenereignis, also alle Zahlen, die keine 0, keine 5 und keine 7 enthalten. Jetzt würde ich alle Zahlen ohne 0 nehmen und die 7^6 abziehen, um alle Zahlen zu erhalten, die mindestens einmal die 5, einmal die 7 und keine 0 enthalten? Sprich: 9^6 - 8^6 - 8^6 + (9^6-7^6) = 420945


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Nuramon
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-05

Ja, du kannst die beiden Aussagen zusammenfassen. Allerdings hast du dich mit dem "Gegenereignis" vertan. Zur Kontrolle könntest du z.B. zweistellige (oder sogar einstellige) statt sechsstellige Zahlen betrachten, deine Überlegung müsste ja für diesen Fall auch stimmen. Deine Formel liefert aber ein falsches Ergebnis.


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HelloWorld
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-05

\quoteon(2021-04-05 15:47 - Nuramon in Beitrag No. 6) Ja, du kannst die beiden Aussagen zusammenfassen. Allerdings hast du dich mit dem "Gegenereignis" vertan. Zur Kontrolle könntest du z.B. zweistellige (oder sogar einstellige) statt sechsstellige Zahlen betrachten, deine Überlegung müsste ja für diesen Fall auch stimmen. Deine Formel liefert aber ein falsches Ergebnis. \quoteoff Tatsächlich habe ich das auch schon versucht aber größeren Zahlen (und das sind nunmal die Aufgaben, welche wir lösen müssen) klappt es nicht so richtig. Kombinatorik fällt mir sehr schwer. Muss ich Schritt 2 + Schritt 3 - 7^6 machen, weil Zahlen doppelt enthalten sein können die ich abgezogen habe? Ich tue mich mit dem Thema wirklich schwer und brauche da mal Starthilfe ich denke wenn ich es einmal vernünftig sehe dann kriege ich alle ähnlichen Aufgaben gelöst wir haben nur kein gutes Material dafür


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Nuramon
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon Schritt 2 + Schritt 3 - 7^6 \quoteoff Ja, so stimmt es. Gehen wir mal im Detail durch, warum $9^6-8^6-8^6+7^6$ das richtige Ergebnis liefert: Sei $A$ die Menge aller 6-stelligen Zahlen, die keine 0 enthalten, $A_5$ die Menge der 6-stelligen Zahlen, die keine 0 und keine 5 enthalten, $A_7$ die Menge der 6-stelligen Zahlen, die keine 0 und keine 7 enthalten, $A_{5,7}:= A_5\cap A_7$ die Menge der 6-stelligen Zahlen, die keine 0 und keine 5 und keine 7 enthalten. $$ 9^6-8^6-8^6+7^6=|A|-|A_5| -|A_7| +|A_{5,7}| = \sum_{x\in A}1 - \sum_{x\in A_5}1 -\sum_{x\in A_7}1+\sum_{x\in A_{5,7}}1. $$ Schauen wir uns für jede Zahl $x\in A$ an, welchen Beitrag $x$ zu dem Term auf der rechten Seite leistet: - Falls $x$ keine 5 und keine 7 enthält: Dann ist $x\in A, x\in A_5, x\in A_7$ und $x\in A_{5,7}$, und trägt somit $1-1-1+1=0$ bei. - Falls $x$ keine 5 aber eine 7 enthält ($x\in A, x\in A_5, x\notin A_7, x\notin A_{5,7}$): $1-1-0+0=0$. - Falls $x$ eine 5 aber keine 7 enthält: $1-0-1+0 = 0$. - Falls $x$ eine 5 und eine 7 enthält: $1-0-0+0 = 1$. Nur im letzten Fall trägt $x$ also etwas bei und zwar $1$. Also steht auf der rechten Seite die Anzahl aller $x\in A$, die eine 5 und eine 7 enthalten, was genau das ist, was in der Aufgabe gesucht wurde. \(\endgroup\)


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HelloWorld
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-05

Vielen Dank! Jetzt mit der Erklärung ergibt alles langsam Sinn. So sollte es in unseren Materialien stehen. Das heißt allgemein: Man zieht von allen Möglichkeiten jeweils die einzelnen Ergebnisse ab und addiert den Durchschnitt der Mengen, da sonst zu viel subtrahiert wird? Jetzt sehe ich auch woran es bei mir scheiterte, ich habe viel zu kompliziert versucht noch mehr zu rechnen anstatt notwendig war. Es fehlten nur die doppelt abgezogenen Zahlen die in beiden Mengen enthalten sind. Vielen Dank ich saß wirklich sehr lange an dieser Aufgabe 😃


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