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Analysis » Funktionalanalysis » EW 0 im unendlichdimensionalen VR
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Universität/Hochschule EW 0 im unendlichdimensionalen VR
Anni_Hilator
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-07 23:27


Hallo, ich habe eine Frage im Bereich der Funktionalanalysis:

Die Spektralsätze zu kompakten Operatoren treffen nur Aussagen über das Spektrum, wobei die 0 ausgeschlossen ist.
Wann bzw. kann ein unendlich dimensionaler Vektorraum 0 als Eigenwert besitzen oder geht das nur im Falle eines endlich dimensionalen Vektorraums ?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-08 18:28


Hallo Anni_Hilator,

2021-04-07 23:27 - Anni_Hilator im Themenstart schreibt:
Die Spektralsätze zu kompakten Operatoren treffen nur Aussagen über das Spektrum, wobei die 0 ausgeschlossen ist.

Es gilt stets \(0\in\sigma(A)\), wenn \(A\) ein kompakter Operator auf einem unendlichdimensionalen Banachraum ist, siehe
de.wikipedia.org/wiki/Spektrum_(Operatortheorie)#Spektren_kompakter_Operatoren


2021-04-07 23:27 - Anni_Hilator im Themenstart schreibt:
Wann bzw. kann ein unendlich dimensionaler Vektorraum 0 als Eigenwert besitzen oder geht das nur im Falle eines endlich dimensionalen Vektorraums ?

Operatoren auf Vektorräumen besitzen Eigenwerte, nicht die Vektorräume selbst.

Schau Dir für eine Nullfolge \(a=(a_n)\) mal den Operator \(A\) auf \(l^2\) an, der durch \(A(x_n):=(a_nx_n)\) definiert ist. Dieser ist kompakt und es gilt \(\sigma_p(A)=a(\mathbb{N})\) und \(\sigma(A)=a(\mathbb{N})\cup\{0\}\). Jedes \(\lambda\in a(\mathbb{N})\) ist also ein Eigenwert.

Wenn ich mich auf die Schnelle nicht vertan habe, dann ist \(\ker(\lambda-A)\) gegeben durch alle Folgen \((x_n)\in l^2\) mit der Eigenschaft \(x_n=0\) für alle \(n\in\mathbb{N}\setminus a^{-1}(\lambda)\), d.h. die Vielfachheit jedes Eigenwertes \(\lambda\) ist \(\#a^{-1}(\lambda)\), insbesondere endlich für alle \(\lambda\neq0\).

Jeder der Fälle \(\#a^{-1}(0)\in\mathbb{N}_0\cup\{\infty\}\) ist möglich, d.h. je nachdem wie Du die Folge \(a\) wählst, ist \(0\) kein Eigenwert, ein Eigenwert endlicher Vielfachheit oder ein Eigenwert unendlicher Vielfachheit. Deswegen kannst Du außer \(0\in\sigma(A)\) für kompakte Operatoren keine weiteren Aussagen über die \(0\) treffen.



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