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| Autor |
  Anwendung Hölder-Ungleichung |
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X3nion
Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 960
 |      Themenstart: 2021-04-08 00:05
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Hallo zusammen!
Folgende Aufgabe versuche ich gerade zu bearbeiten:
Sei $n \in \IN$ und $p,q \in ]1, \infty[$ mit $p < q$. Dann gilt:
$\|x\|_p \le n^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}}\|x\|_q$.
Es steht als Hinweis, dass $\sum |x_i|^p = \sum |x_i|^p \cdot 1$ geschrieben und darauf die Hölder-Ungleichung angewandt werden soll mit geeigneten Hölder-Exponenten.
- - - - - - - - - - - - - - - -
Zunächst einmal ist $\|x\|_p = \left( \sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} =
\left( \sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^p \cdot 1 \right)^{\frac{1}{p}}$. (*)
Sei nun $q = p+1$, was bedeutet: $q-p = 1 \iff \frac{q-p}{pq} = \frac{pq}{p^2q^2} \iff \frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{q}$
Dann ist:
$\sum \limits_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1 \le \|\overline{x}\|_p \cdot \|\overline{1}\|_q$,
wobei $x:= (|x_1|^p, ..., |x_n|^p)^T$ und $\overline{1}:= (1, ..., 1)^T$. Es ergibt sich weiter:
$\|\overline{x}\|_p \cdot \|\overline{1}\|_q = \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^{2p}\right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|1|^q\right)^{\frac{1}{q}} = \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^{2p}\right)^{\frac{1}{p}} \cdot n^{\frac{1}{q}}
= n^{\frac{1}{q}} \cdot \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^{2p}\right)^{\frac{1}{p}} = $, also insgesamt
$\sum \limits_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1 \le n^{\frac{1}{q}} \cdot \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^{2p}\right)^{\frac{1}{p}}$ (**)
Indem wir auf beide Seiten in (**) $\left(\; \right)^{\frac{1}{p}}$ anwenden, erhalten wir (*), also:
$\|x\|_p = \left(\sum \limits_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1\right)^{\frac{1}{p}} \le \left(n^{\frac{1}{q}} \cdot \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^{2p}\right)^{\frac{1}{p}}\right)^{\frac{1}{p}} = n^{\frac{1}{pq}} \cdot \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^{2p}\right)^{\frac{1}{2p}} = n^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^{2p}\right)^{\frac{1}{2p}}$
was schon fast nach der Behauptung aussieht. Wie komme ich aber nun zum Schluss, dass $\left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^{2p}\right)^{\frac{1}{2p}} = \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^{q}\right)^{\frac{1}{q}} = \|x\|_q$ ist?
Ich wäre euch wie immer für jede Hilfe sehr dankbar! 🙂
Viele Grüße,
X3nion
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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.
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Sismet
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Dabei seit: 22.03.2021
Mitteilungen: 49
Herkunft: Heidelberg
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-08 03:02
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
Hey,
ich versuch mich mal an einer Antwort.
2021-04-08 00:05 - X3nion im Themenstart schreibt:
Dann ist:
$\sum \limits_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1 \le \|\overline{x}\|_p \cdot \|\overline{1}\|_q$,
wobei $x:= (|x_1|^p, ..., |x_n|^p)^T$ und $\overline{1}:= (1, ..., 1)^T$. \(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\) Hier verwendest du die Hölderungleichung falsch. Die Hölderungleichung sagt:
$ \|x\cdot y\| \le \|x\|_a\cdot \|y\|_b$ mit den Forderungen $1\le a\le b\le\infty$ und $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$
Die 2. Bedingung ist jedoch im allgemeinen nicht erfüllt. Die weiteren Rechnungen sind damit ebenfalls nicht richtig.
Versuche die Hölderungleichung an dieser Stelle mit anderen Werten für $a$ und $b$, dann kommst du zum gewünschten Ergebnis.
2021-04-08 00:05 - X3nion im Themenstart schreibt:
Sei nun $q = p+1$, was bedeutet: $q-p = 1 \iff \frac{q-p}{pq} = \frac{pq}{p^2q^2} \iff \frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{q}$ \(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\) Die Rechnung die du hier durchführst ist richtig, aber die Annahme mit $q=p+1$ ist im allgemeinen nicht gegeben. $p$ und $q$ können einen beliebig großen/kleinen Abstand haben. Wenn du die Höldergungleichung korrigierst, dann fällt aber auch die Notwenigkeit von dieser Annahme weg und du kannst dann diese Zeile in deinem Beweis weglassen.
Hoffentlich konnte ich dir etwas weiterhelfen
Grüße
Sismet
\(\endgroup\)
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X3nion
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Mitteilungen: 960
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-08 15:03
|
Hey Sismet und vielen Dank dir für deine Antwort, ich habe es nun geschafft!
Mit $p':= \frac{q}{p}$ und $q':= \frac{1}{1 - \frac{p}{q}}$ geht es auf 🙂
Viele Grüße,
X3nion
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