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Mathematik » Geometrie » Vektorfeld besitzt keine Polarwinkelfunktion
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Universität/Hochschule Vektorfeld besitzt keine Polarwinkelfunktion
Clvrhammer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-10


Grüße,

Ich hänge gerade etwas an einer Aufgabe für meinen Kurs zur Klassischen Differentialgeometrie. Die Aufgabe lautet wie folgt:


Sei $A = \mathbb{R}^2 \backslash \{ (0,0) \}$ und $f : A \longrightarrow \mathbb{R}^2$ das Vektorfeld $f(x,y) = (-y,x)$. Zeigen Sie, dass $f$ auf $A$ keine Polarwinkelfunktion besitzt. (Hinweis: integrieren Sie über den Einheitskreis).


Nun verstehe ich nicht ganz worauf ich durch das Integrieren über den Einheitskreis schließen kann. Das Integral ist (sofern ich mich nicht verrechnet habe) gleich $2\pi$. Hat jemand einen Tipp für mich worauf ich durch das Integral schließen kann?

Mfg
Clvrhammer



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-11 14:02


Hallo,

Wie ist Polarwinkelfunktion eines Vektorfeldes definiert? Dazu finde ich auf die schnelle nichts.

LG Nico



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Clvrhammer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11 22:13



Wir haben eine *Polarwinkelfunktion* für ein Vektorfeld im Zuge des folgenden Lemmas definiert:


LEMMA: Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ sternförmig bzgl. $x_0 \in \Omega$ und sei $\psi : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^2 \backslash \{(0,0)\}$ ein stetiges Vektorfeld. Dann existiert eine stetige Abbildung $\theta: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^2$, so dass

$$ \psi(x) \enspace = \enspace |\psi(x)| \cdot \Big( \cos \theta(x) \, , \; \sin \theta(x) \Big)^T $$
für alle $x \in \Omega$. Die Funktion $\theta$ heißt *Polarwinkelfunktion* und ist eindeutig bis auf die Addition einer konstanten Funktion $x \longmapsto 2\pi j$ für festes $j \in \mathbb{Z}$.


Beste Grüße,

Clvrhammer



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-11 22:47


Das erste Problem wird dann vermutlich sein, dass $\Omega:=\mathbb R^2 \setminus \lbrace (0,0)\rbrace$ nicht sternförmig ist, denn für alle $x\in\Omega$ ist die Menge $\lbrace (1-t)x-tx\mid t\in[0,1]\rbrace$ keine Teilmenge von $\Omega$ und damit $x$ kein Sternpunkt von $\Omega$.

LG Nico



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-11 23:01


Sonst nimm doch einfach mal die Existenz einer solchen stetigen Funktion an und integriere über den Einheitskreis. Dort wird sich bestimmt ein Widerspruch einstellen.

LG Nico



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Clvrhammer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11 23:02


Da hast du einerseits recht, andererseits besagt das Lemma wiederum nicht, dass NUR dann wenn $\Omega$ sternförmig ist eine solche Funktion $\theta$ existiert. Damit steh' ich dann leider wieder am Anfang :(


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


EDIT: Hatte nicht gesehen, dass du noch eine Antwort verfasst hast. Werde das mal versuchen und melde mich mit meinen Ergebnissen :)



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-11 23:05


Andererseits bist du sicher, dass $\theta$ Werte in $\mathbb R^2$ annimmt? Man setzt ja dann $\theta(x)$ in Sinus und Kosinus ein. Das ergäbe aber keinen Sinn.



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Clvrhammer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11 23:14


So steht es in meinem Skriptum - allerdings ist dieses mit kleinen Fehlern solcher Art übersät. Darüber hinaus macht ein 2D-Vektor im Argument von $\sin$ und $\cos$ wie du sagst natürlich auch nicht viel Sinn! Du hast klar Recht. Allerdings habe ich mich daran bisher noch nicht gestoßen, da ich diesen Fehler sogar zugunsten einer korrekteren Version ungewollt überlesen habe 😂



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Clvrhammer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 14:43



Hm, der Ansatz die Existenz einer solcher Funktion anzunehmen und auf einen Widerspruch zu führen scheint mich nicht weiter zu bringen. Indem ich die Stammfunktion der Funktion $\theta$ nicht kenne, bleibe ich beim Integral hängen. :(



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