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Mathematik » Topologie » Abgeschlossene Menge
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Universität/Hochschule Abgeschlossene Menge
MalibuRazz
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  Themenstart: 2021-04-12

Hallo, ich brauche für einen Beweis eines anderen Satzes, dass die Menge $A(x_0) := \{x : |x-x_0| \leq k\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ kompakt ist. Nach Heine-Borel ist eine Menge kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Beschränktheit habe ich gezeigt, nun fehlt noch die Abgeschlossenheit: $|x-x_0|$ bedeutet ja, dass $x \in [x_0-k, x_0+k]$, was ein abgeschlossenes Intervall ist. Naiv betrachtet sieht man die Abgeschlossenheit ja durch das $\leq$ bzw die geschlossenen Intervallklammern. Nun fehlt mir die GENAUE Begründung warum $A(x_0)$ abgeschlossen ist, Idee: Jede abgeschlossene Menge lässt sich als Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen darstellen, hier also: $(x_0-k-\frac {1}{n},x_0+k+\frac {1}{n})$ für alle natürlichen Zahlen n oder Beweis durch das Folgenkriterium? Danke für jede Hilfe!


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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-12

Hallo MalibuRazz, mir ist nicht ganz klar, welche Menge gemeint ist. Da wir im \(\mathbb{R}^2\) sind, gehe ich davon aus, dass du eine Kugel um \(x_0\) mit Radius k meinst. Du schreibst aber von Intervallen, die ja eindimensionale Objekte sind. Auf jeden Fall ist die mMn einfachste Beweismethode zu zeigen, dass das Komplement der Menge offen, z.B. über die Definition mit \(\epsilon\)-Umgebungen. Komplemente offener Mengen sind nach Definition abgeschlossen. lg Wladimir


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-12

Für jeden metrischen Raum $(X,d)$ und jeden Punkt $x_0 \in X$ und jeden Radius $r$ ist $\overline{B}(x_0,r) =\{x \in X : d(x,x_0) \leq r\}$ abgeschlossen in $X$. Das kann man aus den Definitionen ableiten (siehe https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805). Oder man benutzt das Lemma, dass stetige Abbildungen die Eigenschaft haben, dass Urbilder abgeschlossener Mengen ebenfalls abgeschlossen sind. Nun ist $d(-,x_0) : X \to \IR$ stetig, sogar Lipschitz-stetig (eine Folge der Dreiecksungleichung), und $\{s \in \IR : s \geq r\}$ ist abgeschlossen in $\IR$, und das Urbild ist gerade $\overline{B}(x_0,r)$.


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MalibuRazz
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12

\quoteon(2021-04-12 12:49 - wladimir_1989 in Beitrag No. 1) mir ist nicht ganz klar, welche Menge gemeint ist. Da wir im \(\mathbb{R}^2\) sind, gehe ich davon aus, dass du eine Kugel um \(x_0\) mit Radius k meinst. Du schreibst aber von Intervallen, die ja eindimensionale Objekte sind. \quoteoff Oh mein Fehler! $A(x_0) \subset \mathbb{R}$


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MalibuRazz
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12

\quoteon(2021-04-12 12:53 - Triceratops in Beitrag No. 2) Für jeden metrischen Raum $(X,d)$ und jeden Punkt $x_0 \in X$ und jeden Radius $r$ ist $\overline{B}(x_0,r) =\{x \in X : d(x,x_0) \leq r\}$ abgeschlossen in $X$. Das kann man aus den Definitionen ableiten \quoteoff Danke!


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-12

Wenn du wirklich nur ein normales abgeschlossenes Intervall in $\IR$ hast: Das Komplement besteht offenbar aus zwei offenen Intervallen, ist also offen.


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