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Integration » Riemannsche Summen » Stückweise stetige Funktion ist Riemann-integrierbar
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Universität/Hochschule J Stückweise stetige Funktion ist Riemann-integrierbar
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-12

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Hallo,

ich wiederhole gerade den Stoff aus dem letzten Semester. Nach Vorlesung ist eine stückweise stetige, beschränkte Funktion Riemann-integrierbar.

Ich sehe allerdings nicht ganz an einem Beispiel warum das so ist, also mir geht es hier eher um das intuitive Verständnis. Daher folgendes sehr einfaches Beispiel:

$f: [0,2] \rightarrow \IR$ mit $f(x) = 0$ für alle x ungleich 1 und $f(1) = 1$.

Offenbar ist f beschränkt und stückweise stetig.
Wenn ich mir die Wikipedia Definition anschaue (hier), dann sehe ich direkt, dass f auch integrierbar ist.
Man wähle nämlich als Zerlegung Z einfach $(0,1,2)$.

Das Problem ist aber, dass wir in der Vorlesungen die Ober- und Untersummen ein wenig anders definiert haben:
$O(Z):=\sum _{k=1}^{n}{\Big (}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \sup _{x \in [x_{k-1},x_k]}f(x)\Big )$

Der Unterschied ist unter dem supremums Zeichen: Wir haben das äußere Intervall genommen, auf Wikipedia wird aber strikte Ordnung benutzt.
Also bei unserer Definition kann insbesondere auch $x = x_k$ oder $x = x_{k+1}$ gelten.

Ich sehe unter den Umständen aber nicht, wie man dann eine Zerlegung Z wählen könnte, sodass die Untersumme und die Obersumme nicht betragsmäßig Differenz 1 haben.

Kann mir jemand helfen?
Danke!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄
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DominikS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-12


Hallo,

das sollte ein Fehler im Skript sein, aus den von dir genannten Problemen.
Unter dem Supremum sollte also in der Tat $(x_{k-1}, x_{k})$ stehen.
Vermutlich ist das also ein Schreib-, bzw. Tippfehler.

Die Werte an den Trennpunkten der Zerlegung sind beliebig, womit dann die von dir genannte Zerlegung in die Intervalle (0,1), (1,2) natürlich funktioniert.
Was für x=0,1,2 passiert ist dann egal.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-12


2021-04-12 17:55 - DominikS in Beitrag No. 1 schreibt:
das sollte ein Fehler im Skript sein ...
Unter dem Supremum sollte also in der Tat $(x_{k-1}, x_{k})$ stehen.

Das Supremum über das abgeschlossene Intervall zu nehmen, ist kein Fehler, sondern durchaus üblich.

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Ich sehe unter den Umständen aber nicht, wie man dann eine Zerlegung Z wählen könnte, sodass die Untersumme und die Obersumme nicht betragsmäßig Differenz 1 haben.
\(\endgroup\)

Die Differenz ist nicht 1, sondern die Breite des Intervalls (oder der Intervalle), in das die 1 fällt. Und diese Breite geht gegen 0. Es gibt also nichts, was der Integrierbarkeit im Wege stünde.

--zippy



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DominikS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-12


Sorry für die Verwirrung und danke, dass du es klar gestellt hast.
Harro Heuser macht es wohl über das abgeschlossene Intervall.

Ich bin stutzig geworden, weil ich das gleiche Problem wie LukasNiessen gesehen habe (der jetzt hoffentlich nicht dem Professor eine Nachricht mit einem Hinweis auf einen Tippfehler geschickt hat...).




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LukasNiessen
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Danke, ich habe das wohl übersehen, ja!

Und es ist noch keine Mail raus ;D


-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LukasNiessen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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