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Universität/Hochschule J Fourier-Transformation nicht surjektiv
Pi_Ist_Genau_3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-12


Hallo Leute,

nach dem Riemann-Lebesgue-Lemma gilt bekanntlich \(\mathcal{F}\colon L^1(\mathbb{R})\to C_0(\mathbb{R})\), d.h. die Fourier-Transformierte einer integrierbaren Funktion ist stets stetig und verschwindet im Unendlichen.

Ich habe gelesen, dass die Charakterisierung von \(\mathcal{F}(L^1(\mathbb{R}))\) eine offene Fragestellung ist. Mich würde zumindest ein Beispiel einer \(C_0\)-Funktion \(g\) interessieren, für die es kein \(f\in L^1(\mathbb{R})\) gibt mit \(\mathcal{F}f=g\), d.h. wieso ist \(\mathcal{F}\) nicht surjektiv?

Wenn \(g\in L^1(\mathbb{R})\) und auch \(\mathcal{F}g\in L^1(\mathbb{R})\) wäre, so müsste es glaube ich so ein \(f\) geben, nämlich \(f(t)=\mathcal{F}g(-t)\). Ich suche also ein \(g\in C_0(\mathbb{R})\setminus L^1(\mathbb{R})\) oder ein \(g\in C_0(\mathbb{R})\cap L^1(\mathbb{R})\) mit \(\mathcal{F}g\notin L^1(\mathbb{R})\).



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Pi_Ist_Genau_3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12


Ich habe inzwischen die Lösung durch eigene Recherche gefunden, es war aber deutlich komplizierter, als ich es erwartet hatte. Man kann z.B. \(g(x)=\frac{\operatorname{sign}(x)}{\log(|x|)}\) für \(|x|\geq2\) wählen und dies stetig und ungerade auf \(\mathbb{R}\) fortsetzen. Gäbe es nun ein \(f\in L^1(\mathbb{R})\) mit \(\mathcal{F}f=g\), so kann man dies ungerade wählen und aus \(|\int_2^T\frac{\mathcal{F}f(x)}{x}\,dx|\leq4\|f\|_1\) für \(T>2\) (das muss man natürlich erstmal beweisen) würde man einen Widerspruch erhalten, da \(|\int_2^T\frac{g(x)}{x}\,dx|\to\infty\) für \(T\to\infty\).


Alternativ kann man auch durch ein explizites Beispiel zeigen, dass \(\mathcal{F}^{-1}\colon\mathcal{F}(L^1(\mathbb{R}))\to L^1(\mathbb{R})\) nicht beschränkt ist und damit kann \(\mathcal{F}\) nach dem Satz über die offene Abbildung nicht surjektiv sein. Dieser Beweis liefert allerdings kein explizites \(g\), das nicht im Bild liegt.



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Asrael
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-12


Meine Vermutung wäre auch gewesen, dass die L1-Funktionen eine endliche Norm haben, während die C0-Funktionen eine beliebig große L1 bzw. L2 Norm haben können.



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Pi_Ist_Genau_3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12


Hallo Asrael,

ich verstehe ehrlich gesagt nicht, was Du mir damit sagen willst. Wenn ich mir \(\chi_{(-1,1)}\in L^1(\mathbb{R})\) anschaue, dann ist \(\mathcal{F}\chi_{(-1,1)}\in C_0(\mathbb{R})\) mit \(\|\mathcal{F}\chi_{(-1,1)}\|_1=\infty\), was aber nichts mit der nicht vorhandenen Surjektivität von \(\mathcal{F}\) zu tun hat.

Meine Frage hat sich aber wie gesagt mittlerweile erledigt.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-13


Ein anderes Argument (mit einem konkreten Gegenbeispiel) findest du hier home.iitm.ac.in/mtnair/FS-Notes-3.pdf in Abschnitt 2.

Übrigens kann man immerhin zeigen, dass das Bild von $L^1(\IR)$ dicht in $C_0(\IR)$ ist.



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Pi_Ist_Genau_3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-13


Hallo Triceratops,

mir ist bekannt, dass \(\mathcal{F}\) ein Automorphismus auf \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) ist und wegen \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\subseteq L^1(\mathbb{R})\) gilt dann auch \(\mathcal{S}(\mathbb{R})=\mathcal{F}(\mathcal{S}(\mathbb{R}))\subseteq \mathcal{F}(L^1(\mathbb{R}))\). Da aber \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) bereits dicht in \(C_0(\mathbb{R})\) ist, ist es auch \(\mathcal{F}(L^1(\mathbb{R}))\).

In Abschnitt 2 des von Dir zitierten Skriptes steht eigentlich genau das Beispiel, das ich oben schon angegeben hatte, die Argumentation ist auch die gleiche.



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Asrael
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-13


Die FT erhält ja die L2-Norm, d. h. die C0-Funktionen, für die die L2-Norm nicht endlich ist, haben kein Urbild in der Schnittmenge von L1 und L2. Ob sie dann auch kein Urbild in L1 haben, weiß ich nicht, dazu kenne ich mich zu wenig mit Lp-Räumen aus...



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Pi_Ist_Genau_3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-13


Ja, es gilt \(\mathcal{F}(L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R}))\subseteq L^2(\mathbb{R})\cap C_0(\mathbb{R})\) und daher ist es trivial, dass Funktionen aus \(C_0(\mathbb{R})\setminus L^2(\mathbb{R})\) kein Urbild in \(L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})\) haben, was aber noch lange nicht heißt, dass sie kein Urbild in \(L^1(\mathbb{R})\) haben.

Wählt man ein \(f\in L^1(\mathbb{R})\setminus L^2(\mathbb{R})\), so hat \(\mathcal{F}f\) kein Urbild in \(L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})\), jedoch eins in \(L^1(\mathbb{R})\).



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